Упр.7.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x) = sin(x/3), T = 6?; г) f(x) = cos(x/4), T = 8?;
б) f(x) = cos(2x/3), T = -6?; д) f(x) = sin(3x/4), T = -12?;
в) f(x) = 2 tg(2x), T = 3?/2; е) f(x) = 1/2 ctg(3x), T = 4?/3. Постройте и прочитайте график функции:
а) y=(x^4-4x^3+3x^2)/(x^2-3x);
б) y=(x-3)(x+1)/(x^4-2x^3-3x^2).

1. Проверим периодичность подстановкой $$x+T$$.

   а) $$f(x)=\sin\frac{x}{3},\quad T=6$$

   $$ f(x+T)=\sin\frac{x+6}{3}=\sin\left(\frac{x}{3}+2\pi\right)=\sin\frac{x}{3}=f(x). $$

   б) $$f(x)=\cos\frac{2x}{3},\quad T=-6$$

   $$ f(x+T)=\cos\frac{2(x-6)}{3}=\cos\left(\frac{2x}{3}-4\pi\right)=\cos\frac{2x}{3}=f(x). $$

   в) $$f(x)=2\tg(2x),\quad T=\frac{3\pi}{2}$$

   $$ f(x+T)=2\tg\left(2x+3\pi\right)=2\tg(2x)=f(x), $$
   так как период функции $$\tg x$$ равен $$\pi$$.

   г) $$f(x)=\cos\frac{x}{4},\quad T=8\pi$$

   $$ f(x+T)=\cos\frac{x+8\pi}{4}=\cos\left(\frac{x}{4}+2\pi\right)=\cos\frac{x}{4}=f(x). $$

   д) $$f(x)=\sin\frac{3x}{4},\quad T=-12$$

   $$ f(x+T)=\sin\frac{3(x-12)}{4}=\sin\left(\frac{3x}{4}-9\pi\right)=-\sin\frac{3x}{4}\ne f(x). $$
   Следовательно, $$T=-12$$ не является периодом этой функции.

   е) $$f(x)=\frac12\ctg(3x),\quad T=\frac{4\pi}{3}$$

   $$ f(x+T)=\frac12\ctg\left(3x+4\pi\right)=\frac12\ctg(3x)=f(x), $$
   так как период функции $$\ctg x$$ равен $$\pi$$.

2. а) $$y=\frac{x^4-4x^3+3x^2}{x^2-3x}$$

   Разложим на множители:

   $$ y=\frac{x^2(x^2-4x+3)}{x(x-3)}=\frac{x^2(x-1)(x-3)}{x(x-3)}=x(x-1)=x^2-x. $$

   Но при этом нужно учесть ОДЗ исходной функции:

   $$ x^2-3x\ne 0,\quad x(x-3)\ne 0,\quad x\ne 0,\; x\ne 3. $$

   Значит, график — парабола $$y=x^2-x$$ с выколотыми точками при $$x=0$$ и $$x=3$$.

   Вершина параболы:

   $$ x_0=-\frac{b}{2a}=\frac12,\qquad y_0=\left(\frac12\right)^2-\frac12=-\frac14. $$

   Следовательно, вершина: $$\left(\frac12,-\frac14\right)$$.

   Область определения и значения:

   $$ D(x)=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty), $$
   $$ E(y)=\left[-\frac14;+\infty\right). $$

   Точки пересечения с осями: $$x=0$$ и $$x=1$$ — корни уравнения $$x^2-x=0$$, но точка $$x=0$$ исключена, поэтому остаётся только $$x=1$$.

   Итак, график — парабола $$y=x^2-x$$ с выколотыми точками $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(3,6\right)$$.

   б) $$y=\frac{(x-3)(x+1)}{x^4-2x^3-3x^2}$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$ x^4-2x^3-3x^2=x^2(x^2-2x-3)=x^2(x-3)(x+1). $$

   Тогда

   $$ y=\frac{(x-3)(x+1)}{x^2(x-3)(x+1)}=\frac1{x^2}. $$

   Но исходная функция определена не при всех значениях, где обращается в нуль знаменатель:

   $$ x\ne 0,\quad x\ne 3,\quad x\ne -1. $$

   Значит, график функции $$y=\frac1{x^2}$$ с выколотыми точками при $$x=-1$$ и $$x=3$$.

   Асимптоты:

   $$ x=0,\qquad y=0. $$

   Область определения и значения:

   $$ D(x)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty), $$
   $$ E(y)=(0;+\infty). $$

   Точки разрыва на графике: $$(-1,1)$$ и $$\left(3,\frac19\right)$$.

Ответ

а) $$T=6$$ — период; б) $$T=-6$$ — период; в) $$T=\frac{3\pi}{2}$$ — период; г) $$T=8\pi$$ — период; д) $$T=-12$$ не является периодом; е) $$T=\frac{4\pi}{3}$$ — период.
а) $$y=x^2-x,\; x\ne 0,\; x\ne 3$$; б) $$y=\frac1{x^2},\; x\ne -1,\; x\ne 0,\; x\ne 3$$.