Упр.7.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Используя алгоритм нахождения производной, докажите, что:

а) $$(ax^2)’=2ax$$; в) $$(ax^2+c)=2ax$$; б) $$(ax^2+bx)’=2ax+b$$; г) $$(ax^2+bx+c)’=2ax+b$$.

Используем определение производной:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

1. $$f(x)=ax^2.$$

   Тогда

   $$f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2=ax^2+2ax\Delta x+a(\Delta x)^2.$$

   Следовательно,

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2ax+a\Delta x)=2ax.$$

2. $$f(x)=ax^2+bx.$$

   Тогда

   $$f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)=ax^2+2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+bx+b\Delta x.$$

   Следовательно,

   $$\Delta y=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+b\Delta x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+b\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2ax+a\Delta x+b)=2ax+b.$$

3. $$f(x)=ax^2+c.$$

   Тогда

   $$f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2+c=ax^2+2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+c.$$

   Следовательно,

   $$\Delta y=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2ax+a\Delta x)=2ax.$$

4. $$f(x)=ax^2+bx+c.$$

   Тогда

   $$f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c=ax^2+2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+bx+b\Delta x+c.$$

   Следовательно,

   $$\Delta y=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+b\Delta x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+b\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2ax+a\Delta x+b)=2ax+b.$$

Ответ

$$(ax^2)’=2ax,\quad (ax^2+bx)’=2ax+b,\quad (ax^2+c)’=2ax,\quad (ax^2+bx+c)’=2ax+b.$$