Упр.7.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=x^2, g(x)=x^3; б) f(x)=x^2, g(x)=vx?

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x$$ равен производной этой функции в этой точке. Поэтому нужно решить уравнение

$$f'(x)=g'(x).$$

1. $$f(x)=x^2,\quad g(x)=x^3.$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=2x,\quad g'(x)=3x^2.$$

   Приравниваем:

   $$ 2x=3x^2 $$
   $$ 3x^2-2x=0 $$
   $$ x(3x-2)=0 $$

   Отсюда

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{2}{3}.$$

2. $$f(x)=x^2,\quad g(x)=\sqrt{x}.$$

   Область определения: $$x\ge 0$$, причём производная $$g'(x)$$ существует при $$x>0$$.

   Найдём производные:

   $$f'(x)=2x,\quad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Приравниваем:

   $$ 2x=\frac{1}{2\sqrt{x}} $$
   $$ 4x\sqrt{x}=1 $$
   $$ x^{3/2}=\frac14 $$
   $$ x=\left(\frac14\right)^{2/3}=\sqrt[3]{\frac{1}{16}}. $$

Ответ

а) $$0;\ \frac{2}{3}$$

б) $$\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$$