Упр.7.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях аргумента угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ равен угловому коэффициенту касательной к графику функции $$y=g(x)$$, если:
а) $$f(x)=x^2$$, $$g(x)=x^3$$;
б) $$f(x)=x^2$$, $$g(x)=vx$$?

Подробный ответ

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x$$ равен производной этой функции в этой точке. Поэтому нужно решить уравнение

$$f'(x)=g'(x).$$

$$f(x)=x^2,\quad g(x)=x^3.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=2x,\quad g'(x)=3x^2.$$
Приравниваем:
$$2x=3x^2$$
$$3x^2-2x=0$$
$$x(3x-2)=0$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{2}{3}.$$
$$f(x)=x^2,\quad g(x)=\sqrt{x}.$$
Область определения: $$x\ge 0$$, причём производная $$g'(x)$$ существует при $$x>0$$.
Найдём производные:
$$f'(x)=2x,\quad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Приравниваем:
$$2x=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$4x\sqrt{x}=1$$
$$x^{3/2}=\frac14$$
$$x=\left(\frac14\right)^{2/3}=\sqrt[3]{\frac{1}{16}}.$$