Дополнительная задача 6 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для с. в. $$G$$ «бросания монеты до первого выпадения орла»: а) укажите вероятности «успеха» и «неудачи»; б) вычислите вероятность события «$$G=3$$»; в) вычислите вероятность события «$$G=5$$»; г) составьте таблицу распределения; д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна 1; е) найдите наименьшее значение $$k$$, при котором вероятность события «$$G=k$$» меньше $$0{,}001$$.

Для события $$G$$ — «выпадение орла при бросании монеты до первого орла» имеем геометрическое распределение.

Вероятность успеха:

$$p=\frac12=0{,}5,$$

вероятность неудачи:

$$q=1-p=0{,}5.$$

Если орёл впервые выпал на $$k$$-м броске, то первые $$k-1$$ бросков — решки, а затем орёл. Поэтому

$$P(G=k)=q^{k-1}p.$$

б) Для $$G=3$$:

$$P(G=3)=q^2p=0{,}5^3=0{,}125.$$

в) Для $$G=5$$:

$$P(G=5)=q^4p=0{,}5^5=0{,}03125.$$

г) Таблица распределения:

д) Проверим сумму вероятностей:

$$S=0{,}5+0{,}25+0{,}125+\cdots+0{,}5^k+\cdots$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=0{,}5$$ и знаменателем $$q=0{,}5$$. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}5}{1-0{,}5}=1.$$

е) Найдём наименьшее $$k$$, при котором

$$P(G=k)<0{,}001.$$

Имеем

$$0{,}5^k<0{,}001.$$

Тогда

$$k>\log_{0{,}5}0{,}001.$$

Так как $$0{,}001=10^{-3}$$, то

$$k>3\log_2 10\approx 9{,}96.$$

Следовательно, наименьшее целое $$k=10$$.

Ответ

а) $$p=0{,}5,\ q=0{,}5$$; б) $$0{,}125$$; в) $$0{,}03125$$; г) $$P(G=k)=0{,}5^k$$; д) сумма равна $$1$$; е) $$k=10$$.