Дополнительная задача 6 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Треугольник с вершинами $$O(0; 0)$$, $$A(H; R)$$, $$B(H; 0)$$ вращают на $$360^\circ$$ вокруг оси $$Ox$$. Найдите: а) площадь фигуры, образованной вращением отрезка $$AB$$; б) площадь фигуры, образованной вращением отрезка $$[(0{,}5H; 0{,}5R), (0{,}5H; 0)]$$; в) уравнение прямой $$OA$$; г) $$a$$, $$b$$, $$f(x)$$, к которым в данном случае применима теорема об объёме тела вращения; д) $$?(a,b)?f^2(x)\,dx$$; е) формулу объёма конуса с радиусом основания $$R$$ и высотой $$H$$.

При вращении треугольника вокруг оси $$Ox$$ получается конус с высотой $$H$$ и радиусом основания $$R$$.

а) Площадь фигуры, полученной при вращении отрезка $$AB$$:

$$r=R-0=R,$$

$$S=\pi r^2=\pi R^2.$$

б) Площадь фигуры, полученной при вращении отрезка с концами $$\bigl(0{,}5H;\,0{,}5R\bigr)$$ и $$\bigl(0{,}5H;\,0\bigr)$$:

$$r=0{,}5R-0=\frac{R}{2},$$

$$S=\pi r^2=\frac{\pi R^2}{4}.$$

в) Уравнение прямой $$OA$$:

Так как прямая проходит через начало координат, то $$y=kx.$$

Из условия $$y(H)=R$$ получаем:

$$R=kH,\qquad k=\frac{R}{H}.$$

Следовательно,

$$y=\frac{R}{H}x.$$

г) По теореме о теле вращения:

$$a=0,\qquad b=H,\qquad f(x)=\frac{R}{H}x.$$

д) Значение интеграла:

$$\pi\int_a^b f^2(x)\,dx=\pi\int_0^H \frac{R^2x^2}{H^2}\,dx$$

$$=\frac{\pi R^2}{H^2}\int_0^H x^2\,dx=\frac{\pi R^2}{H^2}\cdot \frac{x^3}{3}\Bigg|_0^H$$

$$=\frac{\pi R^2}{H^2}\cdot \frac{H^3}{3}=\frac{1}{3}\pi R^2H.$$

е) Объём данного конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi R^2H.$$

Ответ

а) $$\pi R^2$$; б) $$\frac{\pi R^2}{4}$$; в) $$y=\frac{R}{H}x$$; д) $$\frac{1}{3}\pi R^2H$$; е) $$V=\frac{1}{3}\pi R^2H$$.