Упр.6.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Вычислите: f(-4); f(-3); f(-2); f(2); f(8);
б) постройте график функции;
в) прочитайте график функции;
г) найдите значения параметра p, при которых уравнение f(x) = p имеет единственный корень.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{x+2}, & x\le -3,\\ -x^2+5, & -3<x\le 2,\\ \log_2 x, & x>2. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-4)=\dfrac{4}{-4+2}=\dfrac{4}{-2}=-2, $$
$$ f(-3)=\dfrac{4}{-3+2}=\dfrac{4}{-1}=-4, $$
$$ f(-2)=-(-2)^2+5=-4+5=1, $$
$$ f(2)=-2^2+5=-4+5=1, $$
$$ f(8)=\log_2 8=\log_2 2^3=3. $$

б) График состоит из трёх частей:

• ветвь гиперболы $$y=\dfrac{4}{x+2}$$ при $$x\le -3$$;
• парабола $$y=-x^2+5$$ при $$-3<x\le 2$$;
• логарифмическая кривая $$y=\log_2 x$$ при $$x>2$$.

Ключевые точки графика: $$(-3,-4)$$, $$(-2,1)$$, $$\left(0,5\right)$$, $$\left(2,1\right)$$, $$\left(8,3\right)$$.

в) По графику получаем:

$$ D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=[-4;+\infty). $$

$$ f(x)<0 \text{ при } x<-5,\qquad f(x)>0 \text{ при } x>-5. $$

Функция возрастает на $$[-3;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;2]$$.

Наибольшее значение: $$f(0)=5$$.
Наименьшее значение: $$f(-3)=-4$$.

г) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственный корень, если горизонтальная прямая $$y=p$$ пересекает график ровно в одной точке.

Это происходит при

$$ p\in\{-4\}\cup[0;1)\cup(5;+\infty). $$

Ответ

а) $$f(-4)=-2,\; f(-3)=-4,\; f(-2)=1,\; f(2)=1,\; f(8)=3.$$
б) График функции состоит из трёх указанных частей.
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\; E(f)=[-4;+\infty),\; f(x)<0 \text{ при } x<-5,\; f(x)>0 \text{ при } x>-5,$$ функция возрастает на $$[-3;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;2]$$.
г) $$p\in\{-4\}\cup[0;1)\cup(5;+\infty).$$