Упр.6.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Онлайн-магазин в первый месяц работы принёс хозяину прибыль 10 000 р. А в каждый из следующих месяцев прибыль возрастала на 50 % по сравнению с предыдущим. Какую прибыль (приблизительно) получил хозяин онлайн-магазина за год? Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 2/3, 1/3, 1/6, … .

1) Прибыль по месяцам образует геометрическую прогрессию:

$$b_1=10000,\quad q=1{,}5,\quad n=12.$$

Сумма прибыли за год:

$$ S_{12}=b_1\frac{q^{12}-1}{q-1} =10000\cdot \frac{1{,}5^{12}-1}{1{,}5-1}. $$

Так как

$$1{,}5^{12}=\left(\frac32\right)^{12}=\frac{531441}{4096},$$

то

$$ S_{12}=10000\cdot \frac{\frac{531441}{4096}-1}{0{,}5} =20000\cdot \frac{527345}{4096} \approx 2574900. $$

2) Для бесконечной геометрической прогрессии

$$\frac23,\ \frac13,\ \frac16,\ \frac1{12},\ \frac1{24},\dots$$

имеем

$$b_1=\frac23,\quad q=\frac{1/3}{2/3}=\frac12.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$ S_\infty=\frac{b_1}{1-q} =\frac{\frac23}{1-\frac12} =\frac{\frac23}{\frac12} =\frac43. $$

Ответ

$$2574900\text{ р.};\ \frac43.$$