Упр.6.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите предел: а) $$\lim_{x>0}\frac{1-\cos^2(x)}{x^2}$$; б) $$\lim_{x>0}\frac{\sin(x)\cos(x)}{x}$$.

а) Используем тождество $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$:

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 =1^2=1.$$

б) Преобразуем произведение по формуле $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cos x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x} =1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.