Дополнительная задача 6 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой по модулю меньше единицы, по известным двум из трёх значений $$S$$, $$b_1$$, $$q$$ вычислите третье: а) $$b_1=4$$, $$q=0{,}5$$; б) $$b_1=-6$$, $$q=-0{,}2$$; в) $$S=2$$, $$q=0{,}3$$; г) $$S=-3$$, $$q=-0{,}3$$; д) $$S=\sqrt{2}+1$$, $$b_1=1$$; е) $$S=1\,000\,000$$, $$b_1=1000$$.

1. Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ используем формулы:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad b_1=S(1-q), \qquad q=1-\frac{b_1}{S}.$$

2. а) $$b_1=4,\ q=0{,}5$$

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{4}{1-0{,}5}=\frac{4}{0{,}5}=8.$$

3. б) $$b_1=-6,\ q=-0{,}2$$

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-6}{1-(-0{,}2)}=\frac{-6}{1{,}2}=-5.$$

4. в) $$S=2,\ q=0{,}3$$

   $$b_1=S(1-q)=2(1-0{,}3)=2\cdot 0{,}7=1{,}4.$$

5. г) $$S=-3,\ q=-0{,}3$$

   $$b_1=S(1-q)=-3(1-(-0{,}3))=-3(1+0{,}3)=-3\cdot 1{,}3=-3{,}9.$$

6. д) $$S=\sqrt{2}+1,\ b_1=1$$

   $$q=1-\frac{b_1}{S}=1-\frac{1}{\sqrt{2}+1}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,$$

   тогда

   $$q=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}.$$

7. е) $$S=1\,000\,000,\ b_1=1000$$

   $$q=1-\frac{b_1}{S}=1-\frac{1000}{1\,000\,000}=1-0{,}001=0{,}999.$$

Ответ

а) $$S=8$$; б) $$S=-5$$; в) $$b_1=1{,}4$$; г) $$b_1=-3{,}9$$; д) $$q=2-\sqrt{2}$$; е) $$q=0{,}999$$.