Упр.5.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Выразите приращение $$\Delta y$$ данной функции $$y=f(x)$$ через приращение $$\Delta x$$ аргумента при переходе от точки $$x$$ к точке $$x+\Delta x$$:
а) $$f(x)=4x+5$$; б) $$f(x)=3-x^2$$; в) $$f(x)=\frac{3}{x}$$; г) $$f(x)=3-2x$$; д) $$f(x)=2x^2+1$$; е) $$f(x)=-\frac{2}{x}$$.
Найдём приращение функции по формуле $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$$
$$f(x)=4x+5$$
$$f(x+\Delta x)=4(x+\Delta x)+5=4x+4\Delta x+5$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=4\Delta x$$
$$f(x)=3-x^2$$
$$f(x+\Delta x)=3-(x+\Delta x)^2=3-x^2-2x\Delta x-(\Delta x)^2$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=-2x\Delta x-(\Delta x)^2=-\Delta x(2x+\Delta x)$$
$$f(x)=\frac{3}{x}$$
$$f(x+\Delta x)=\frac{3}{x+\Delta x}$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{3}{x+\Delta x}-\frac{3}{x}=-\frac{3\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$
$$f(x)=3-2x$$
$$f(x+\Delta x)=3-2(x+\Delta x)=3-2x-2\Delta x$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=-2\Delta x$$
$$f(x)=2x^2+1$$
$$f(x+\Delta x)=2(x+\Delta x)^2+1=2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2+1$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=4x\Delta x+2(\Delta x)^2=2\Delta x(2x+\Delta x)$$
$$f(x)=-\frac{2}{x}$$
$$f(x+\Delta x)=-\frac{2}{x+\Delta x}$$
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=-\frac{2}{x+\Delta x}+\frac{2}{x}=\frac{2\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$
Ответ
а) $$\Delta y=4\Delta x$$;
б) $$\Delta y=-\Delta x(2x+\Delta x)$$;
в) $$\Delta y=-\frac{3\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$;
г) $$\Delta y=-2\Delta x$$;
д) $$\Delta y=2\Delta x(2x+\Delta x)$$;
е) $$\Delta y=\frac{2\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$.
