Дополнительная задача 5 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

5. Докажите, что:
а) таблица распределения значений с. в. G выглядит так:
б) сумма 1+q+q^2+…+q^(k-1)+… бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна p^(-1);
в) сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна 1.

Обозначим через $$p$$ вероятность успеха, а через $$q$$ вероятность неудачи. Тогда $$p+q=1$$.

Случайная величина $$G$$ — это номер последнего испытания, то есть номер испытания, на котором впервые появился успех.

Если $$G=k$$, то первые $$k-1$$ испытаний должны закончиться неудачей, а $$k$$-е — успехом. Поэтому

$$P(G=k)=\underbrace{q\cdot q\cdot \ldots \cdot q}_{k-1\ \text{раз}}\cdot p=q^{k-1}p.$$

Отсюда таблица распределения имеет вид:

Теперь рассмотрим сумму вероятностей:

$$p+qp+q^2p+\ldots+q^{k-1}p+\ldots=p(1+q+q^2+\ldots+q^{k-1}+\ldots).$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $$1$$ и знаменателем $$q$$ равна

$$1+q+q^2+\ldots=\frac{1}{1-q}.$$

Так как $$1-q=p$$, то

$$1+q+q^2+\ldots=\frac{1}{p}.$$

Следовательно,

$$p+qp+q^2p+\ldots=p\cdot \frac{1}{p}=1.$$

Ответ

$$P(G=k)=q^{k-1}p$$, $$1+q+q^2+\ldots=\frac{1}{p}$$, сумма вероятностей в таблице равна $$1$$.