Дополнительная задача 5 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение:

Рассмотрим полукруг $$x^2+y^2\le R^2,\quad y\ge 0$$, вращающийся вокруг оси $$Ox$$.

1. Точка $$ (R,0) \in Ox $$ при вращении остаётся на месте, а точка $$ (0,R) $$ описывает окружность.

2. Каждая точка полукруга при вращении остаётся на расстоянии $$R$$ от точки $$ (0,0) $$, значит получается шар радиуса $$R$$.

3. Абсциссы точек $$ (0,0) $$ и $$ (0,R) $$ одинаковы, поэтому отрезок $$[(0,0),(0,R)]$$ при вращении образует круг.

4. Для всех $$-R\le x\le R$$ имеем

   $$f(x)=\sqrt{R^2-x^2}.$$

   Функция $$f(x)$$ непрерывна и неотрицательна, значит к ней применима теорема об объёме тела вращения.

5. Площадь круга с радиусом $$r=y=\sqrt{R^2-x^2}$$ равна

   $$S(x)=\pi r^2=\pi(R^2-x^2).$$

6. Объём шара:

   $$ V=\int_{-R}^{R} S(x)\,dx =\pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx =\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-R}^{R}. $$

   Тогда

   $$ V=\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)-\pi\left(-R^3+\frac{R^3}{3}\right) =\frac{4}{3}\pi R^3. $$

Ответ

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$$