Дополнительная задача 5 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. В последовательности $$z_n=\frac{an+3}{(2+a)n-3}$$, $$n\in\mathbb{N}$$, значение коэффициента $$a$$ наудачу выбирают из чисел $$1,2,\ldots,10$$. Найдите вероятность того, что $$\lim_{n\to\infty} z_n$$: а) положителен; г) больше $$0{,}5$$; б) больше $$1$$; д) больше $$0{,}7$$; в) равен $$0{,}5$$; е) меньше $$0{,}8$$.

Найдём предел последовательности:

$$z_n=\frac{an+3}{(a+2)n-3}$$
$$\lim_{n\to\infty} z_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a+\frac{3}{n}}{a+2-\frac{3}{n}}=\frac{a}{a+2}.$$

Так как $$a\in\{1,2,\dots,10\},$$ то нужно подсчитать, при скольких значениях $$a$$ выполняется каждое неравенство.

1. $$\frac{a}{a+2}>0.$$

   При всех $$a=1,2,\dots,10$$ дробь положительна, значит подходят все 10 значений.

   $$P= \frac{10}{10}=1.$$

2. $$\frac{a}{a+2}>1.$$

   $$a>a+2,$$
   что невозможно. Поэтому подходящих значений нет.

   $$P=0.$$

3. $$\frac{a}{a+2}=0{,}5.$$

   $$\frac{a}{a+2}=\frac12$$
   $$2a=a+2$$
   $$a=2.$$
   Подходит одно значение из 10.

   $$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$

4. $$\frac{a}{a+2}>0{,}5.$$

   $$\frac{a}{a+2}>\frac12$$
   $$2a>a+2$$
   $$a>2.$$
   Подходят $$a=3,4,5,6,7,8,9,10$$ — всего 8 значений.

   $$P=\frac{8}{10}=0{,}8.$$

5. $$\frac{a}{a+2}>0{,}7.$$

   $$\frac{a}{a+2}>\frac{7}{10}$$
   $$10a>7(a+2)$$
   $$10a>7a+14$$
   $$3a>14$$
   $$a>\frac{14}{3}.$$
   Подходят $$a=5,6,7,8,9,10$$ — всего 6 значений.

   $$P=\frac{6}{10}=0{,}6.$$

6. $$\frac{a}{a+2}<0{,}8.$$

   $$\frac{a}{a+2}<\frac45$$ $$5a<4(a+2)$$ $$5a<4a+8$$ $$a<8.$$ Подходят $$a=1,2,3,4,5,6,7$$ — всего 7 значений.

   $$P=\frac{7}{10}=0{,}7.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$0{,}1$$; г) $$0{,}8$$; д) $$0{,}6$$; е) $$0{,}7$$.