Дополнительная задача 5 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Полукруг $$x^2+y^2\leq R^2,\quad y\geq 0$$ в координатной плоскости $$xOy$$ вращают на $$360^\circ$$ вокруг оси $$Ox$$ (рис. 131). Проверьте, что:
а) точка $$(R; 0)$$ остаётся на месте, а точка $$(0; R)$$ описывает окружность;
б) в результате вращения всего полукруга получится шар радиусом $$R$$;
в) отрезок $$[(0; 0), (0; R)]$$ опишет круг радиусом $$R$$;
г) для $$-R\leq x\leq R$$ и $$f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$$ применима теорема об объёме тела вращения;
д) площадь круга из пункта «в» находится по формуле $$S(x)=\pi(R^2-x^2)$$;
е) $$\int_{-R}^{R}S(x)\,dx=\frac{4}{3}\pi R^3$$.
Рассмотрим полукруг $$x^2+y^2\le R^2,\quad y\ge 0$$, вращающийся вокруг оси $$Ox$$.
Точка $$(R,0) \in Ox$$ при вращении остаётся на месте, а точка $$(0,R)$$ описывает окружность.
Каждая точка полукруга при вращении остаётся на расстоянии $$R$$ от точки $$(0,0)$$, значит получается шар радиуса $$R$$.
Абсциссы точек $$(0,0)$$ и $$(0,R)$$ одинаковы, поэтому отрезок $$[(0,0),(0,R)]$$ при вращении образует круг.
Для всех $$-R\le x\le R$$ имеем
$$f(x)=\sqrt{R^2-x^2}.$$
Функция $$f(x)$$ непрерывна и неотрицательна, значит к ней применима теорема об объёме тела вращения.
Площадь круга с радиусом $$r=y=\sqrt{R^2-x^2}$$ равна
$$S(x)=\pi r^2=\pi(R^2-x^2).$$
Объём шара:
$$V=\int_{-R}^{R} S(x)\,dx =\pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx =\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-R}^{R}.$$
Тогда
$$V=\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)-\pi\left(-R^3+\frac{R^3}{3}\right) =\frac{4}{3}\pi R^3.$$
Ответ
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$$
