Дополнительная задача 5 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) положителен; г) больше 0,5;
б) больше 1; д) больше 0,7;
в) равен 0,5; е) меньше 0,8.

Найдём предел последовательности:

$$ z_n=\frac{an+3}{(a+2)n-3} $$
$$ \lim_{n\to\infty} z_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a+\frac{3}{n}}{a+2-\frac{3}{n}}=\frac{a}{a+2}. $$

Так как $$a\in\{1,2,\dots,10\},$$ то нужно подсчитать, при скольких значениях $$a$$ выполняется каждое неравенство.

1. $$\frac{a}{a+2}>0.$$

   При всех $$a=1,2,\dots,10$$ дробь положительна, значит подходят все 10 значений.

   $$P= \frac{10}{10}=1.$$

2. $$\frac{a}{a+2}>1.$$

   $$ a>a+2, $$
   что невозможно. Поэтому подходящих значений нет.

   $$P=0.$$

3. $$\frac{a}{a+2}=0{,}5.$$

   $$ \frac{a}{a+2}=\frac12 $$
   $$ 2a=a+2 $$
   $$ a=2. $$
   Подходит одно значение из 10.

   $$P=\frac{1}{10}=0{,}1.$$

4. $$\frac{a}{a+2}>0{,}5.$$

   $$ \frac{a}{a+2}>\frac12 $$
   $$ 2a>a+2 $$
   $$ a>2. $$
   Подходят $$a=3,4,5,6,7,8,9,10$$ — всего 8 значений.

   $$P=\frac{8}{10}=0{,}8.$$

5. $$\frac{a}{a+2}>0{,}7.$$

   $$ \frac{a}{a+2}>\frac{7}{10} $$
   $$ 10a>7(a+2) $$
   $$ 10a>7a+14 $$
   $$ 3a>14 $$
   $$ a>\frac{14}{3}. $$
   Подходят $$a=5,6,7,8,9,10$$ — всего 6 значений.

   $$P=\frac{6}{10}=0{,}6.$$

6. $$\frac{a}{a+2}<0{,}8.$$

   $$ \frac{a}{a+2}<\frac45 $$ $$ 5a<4(a+2) $$ $$ 5a<4a+8 $$ $$ a<8. $$ Подходят $$a=1,2,3,4,5,6,7$$ — всего 7 значений.

   $$P=\frac{7}{10}=0{,}7.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$0{,}1$$; г) $$0{,}8$$; д) $$0{,}6$$; е) $$0{,}7$$.