Упр.5.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$(\log_3 x)^2 — 5\log_{\frac{1}{3}} x + 6 \ ? \ 0$$;
   б) $$(\log_5 x)^2 > \log_5 x^3 — 2$$;
   в) $$(\log_{\frac{1}{2}} x)^2 — 5\log_{\frac{1}{2}} x — 6 < 0$$;
   г) $$\lg^2 x \ ? \ \lg x^2 + 3$$.

1. а) Пусть $$y=\log_{\frac13}x.$$ Тогда

   $$y^2-5y+6\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$y^2-5y+6=(y-2)(y-3)\le 0.$$

   Отсюда $$2\le y\le 3,$$ значит

   $$2\le \log_{\frac13}x\le 3.$$

   Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенств при переходе к $$x$$ меняется:

   $$\frac{1}{27}\le x\le \frac{1}{9}.$$

2. б) Пусть $$y=\log_5 x.$$ Тогда

   $$y^2> \log_5 x^3-2.$$

   Так как $$\log_5 x^3=3\log_5 x=3y,$$ получаем

   $$y^2-3y+2>0.$$

   Разложим на множители:

   $$(y-1)(y-2)>0.$$

   Следовательно, $$y<1$$ или $$y>2.$$ Тогда

   $$\log_5 x<1 \quad \text{или} \quad \log_5 x>2.$$

   Отсюда

   $$0<x<5 \quad \text{или} \quad x>25.$$

3. в) Пусть $$y=\log_{\frac12}x.$$ Тогда

   $$y^2-5y-6<0.$$

   Найдём корни:

   $$D=25+24=49,$$

   $$y_1=\frac{5-7}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{5+7}{2}=6.$$

   Тогда

   $$-1<y<6.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$-1<\log_{\frac12}x<6.$$

   Так как $$\frac12<1,$$ знак неравенств меняется:

   $$\frac{1}{64}<x<2.$$

4. г) Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2\ge \lg x^2+3.$$

   Так как $$\lg x^2=2\lg x=2y,$$ получаем

   $$y^2-2y-3\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$(y+1)(y-3)\ge 0.$$

   Следовательно, $$y\le -1$$ или $$y\ge 3.$$ Тогда

   $$\lg x\le -1 \quad \text{или} \quad \lg x\ge 3.$$

   Отсюда

   $$0<x\le 0{,}1 \quad \text{или} \quad x\ge 1000.$$

Ответ

а) $$\left[\frac{1}{27};\frac{1}{9}\right]$$; б) $$(0;5)\cup(25;+\infty)$$; в) $$\left(\frac{1}{64};2\right)$$; г) $$(0;0{,}1]\cup[1000;+\infty).$$