Упр.5.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) log_3 (9 — x) = log_3 (5 — 2x) + 1;
б) log_5 (x^2 + 2x) = log_5 (x + 12);
в) log_0,4 (6 — x) = 2 log_0,4 x;
г) log_2 (8 — 3x) = log_2 (2 — x) + 3;
д) log_0,5 (x^2 + 3x) = log_0,5 (x + 15);
е) log_4 (6 — 5x) = 2 log_4 x. Решите уравнение:
а) sin(x)·v(4-x^2)=0; г) cos(x)·v(9-x^2)=0;
б) cos(x)·v(4x-3-x^2)=0; д) sin(x)·v(5x-2-2x^2)=0;
в) tg(x)·v(9-4x^2)=0; е) ctg(x)·v(16-x^2)=0.
а) $$\log_3(9-x)=\log_3(5-2x)+1$$
$$1=\log_3 3,$$
$$\log_3(9-x)=\log_3(5-2x)+\log_3 3=\log_3\bigl(3(5-2x)\bigr).$$
Тогда
$$9-x=15-6x,$$
$$5x=6,\quad x=\frac65=1{,}2.$$
Проверка области определения:
$$9-x>0,\quad 5-2x>0.$$
При $$x=1{,}2$$ оба условия выполняются.
б) $$\log_5(x^2+2x)=\log_5(x+12)$$
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то
$$x^2+2x=x+12,$$
$$x^2+x-12=0,$$
$$D=1+48=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-4,\quad x_2=3.$$
Оба корня подходят по области определения.
в) $$\log_{0,4}(6-x)=2\log_{0,4}x$$
$$2\log_{0,4}x=\log_{0,4}(x^2),$$
значит
$$\log_{0,4}(6-x)=\log_{0,4}(x^2),$$
$$6-x=x^2,$$
$$x^2+x-6=0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-3,\quad x_2=2.$$
По области определения $$0<x<6$$ подходит только $$x=2.$$
г) $$\log_2(8-3x)=\log_2(2-x)+3$$
$$3=\log_2 8,$$
$$\log_2(8-3x)=\log_2(2-x)+\log_2 8=\log_2\bigl(8(2-x)\bigr).$$
Тогда
$$8-3x=16-8x,$$
$$5x=8,\quad x=\frac85=1{,}6.$$
Проверка области определения:
$$8-3x>0,\quad 2-x>0.$$
При $$x=1{,}6$$ условия выполняются.
д) $$\log_{0,5}(x^2+3x)=\log_{0,5}(x+15)$$
$$x^2+3x=x+15,$$
$$x^2+2x-15=0,$$
$$D=4+60=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-5,\quad x_2=3.$$
Оба корня подходят по области определения.
е) $$\log_4(6-5x)=2\log_4 x$$
$$2\log_4 x=\log_4(x^2),$$
значит
$$\log_4(6-5x)=\log_4(x^2),$$
$$6-5x=x^2,$$
$$x^2+5x-6=0,$$
$$D=25+24=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-6,\quad x_2=1.$$
По области определения $$0<x<\frac65$$ подходит только $$x=1.$$
а) $$\sin x\cdot \sqrt{4-x^2}=0$$
Произведение равно нулю, если
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{4-x^2}=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$
Область определения:
$$4-x^2\ge 0 \Rightarrow -2\le x\le 2.$$
Подходят значения $$x=-2,\,0,\,2.$$
б) $$\cos x\cdot \sqrt{4x-3-x^2}=0$$
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4x-3-x^2=0.$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$4x-3-x^2=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0,$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=3.$$
Область определения:
$$4x-3-x^2\ge 0 \Rightarrow 1\le x\le 3.$$
Подходят $$x=1,\; \frac{\pi}{2},\; 3.$$
в) $$\tg x\cdot \sqrt{9-4x^2}=0$$
$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad 9-4x^2=0.$$
1) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$9-4x^2=0 \Rightarrow x=\pm \frac32.$$
Область определения:
$$9-4x^2\ge 0 \Rightarrow -\frac32\le x\le \frac32.$$
Подходят $$x=-\frac32,\; 0,\; \frac32.$$
г) $$\cos x\cdot \sqrt{9-x^2}=0$$
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 9-x^2=0.$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Область определения:
$$9-x^2\ge 0 \Rightarrow -3\le x\le 3.$$
Подходят $$x=-3,\; -\frac{\pi}{2},\; \frac{\pi}{2},\; 3.$$
д) $$\sin x\cdot \sqrt{5x-2-2x^2}=0$$
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 5x-2-2x^2=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$5x-2-2x^2=0 \Rightarrow 2x^2-5x+2=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac12,\quad x_2=2.$$
Область определения:
$$5x-2-2x^2\ge 0 \Rightarrow \frac12\le x\le 2.$$
Подходят $$x=\frac12,\; 2.$$
е) $$\ctg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0$$
$$\ctg x=0 \quad \text{или} \quad 16-x^2=0.$$
1) $$\ctg x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4.$$
Область определения:
$$16-x^2\ge 0 \Rightarrow -4\le x\le 4.$$
Подходят $$x=-4,\; -\frac{\pi}{2},\; \frac{\pi}{2},\; 4.$$
Ответ
а) $$1{,}2$$; б) $$-4,\ 3$$; в) $$2$$; г) $$1{,}6$$; д) $$-5,\ 3$$; е) $$1$$.
Для уравнений с произведением: а) $$-2,\ 0,\ 2$$; б) $$1,\ \frac{\pi}{2},\ 3$$; в) $$-\frac32,\ 0,\ \frac32$$; г) $$-3,\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ 3$$; д) $$\frac12,\ 2$$; е) $$-4,\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ 4$$.
