Упр.5.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически уравнение:
а) $$\log_2(x-2)=3-0,5x$$;
б) $$\log_{0,5}(x+1)=-\frac{6}{x}$$;
в) $$\log_{0,5}(x+1)=2x-3$$;
г) $$\log_2(x-1)=\frac{3}{x}$$.
Вычислите:
а) $$\log_3(81)\cdot\left(\log_6(4)+\log_6(9)\right)$$;
б) $$\log_{\frac{1}{5}}(125)\cdot\left(\lg(300)-\lg(3)\right)$$;
в) $$\frac{\log_{\frac{2}{7}}(8)-\log_{\frac{2}{7}}(343)}{\log_{2\sqrt{3}}(12)}$$;
г) $$\log_2(16)\cdot\left(\lg(5)+\lg(20)\right)$$;
д) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{81}\right)\cdot\left(\log_{12}(432)-\log_{12}(3)\right)$$;
е) $$\frac{\log_{\sqrt{2}}(5\sqrt{2})-\log_{\sqrt{2}}(10)}{\log_{3\sqrt{5}}(45)}$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим пересечение графиков функций $$y=\log_2(x-2)$$ и $$y=3-0{,}5x$$. По графику получаем точку пересечения при $$x=4$$.
б) Для уравнения $$\log_{0{,}5}(x+1)=-\dfrac{6}{x}$$ графики пересекаются в двух точках. По графику:
$$x\approx -0{,}99 \quad \text{и} \quad x=3.$$
в) Для уравнения $$\log_{0{,}5}(x+1)=2x-3$$ графики пересекаются в точке с абсциссой $$x=1$$.
г) Для уравнения $$\log_2(x-1)=\dfrac{3}{x}$$ графики пересекаются при $$x=3$$.
Вычислим значения выражений:
а) $$\log_3 81\cdot(\log_6 4+\log_6 9)=4\cdot\log_6 36=4\cdot 2=8;$$
б) $$\log_{1/5}125\cdot(\lg 300-\lg 3)=-3\cdot\lg 100=-3\cdot 2=-6;$$
в) $$\dfrac{\log_{2/7}8-\log_{2/7}343}{\log_{2\sqrt3}12} =\dfrac{\log_{2/7}\dfrac{8}{343}}{\log_{2\sqrt3}12} =\dfrac{\log_{2/7}\left(\dfrac{2}{7}\right)^3}{2} =\dfrac{3}{2}=1{,}5;$$
г) $$\log_2 16\cdot(\lg 5+\lg 20)=4\cdot\lg 100=4\cdot 2=8;$$
д) $$\log_{1/3}\dfrac{1}{81}\cdot(\log_{12}432-\log_{12}3)=4\cdot\log_{12}144=4\cdot 2=8;$$
е) $$\dfrac{\log_{\sqrt2}(5\sqrt2)-\log_{\sqrt2}10}{\log_{3\sqrt5}45} =\dfrac{\log_{\sqrt2}\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)}{2} =\dfrac{-1}{2}=-0{,}5.$$