Упр.5.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) log_7 3 — log_7 21;
б) log_2,5 12,5 + log_2,5 0,5;
в) 36^(log_6 3) + log_4 8;
г) v5^(log_5 4) + log_0,25 2;
д) log_2 25 · log_5 8;
е) log_3 64 · log_2 81. Известно, что log_5(2)=a и log_5(3)=b. Выразите через a и b:
а) log_5(24); в) log_5(54); д) log_5(6,75);
б) log_5(36); г) log_5(72); е) log_5(2/9).

Подробный ответ

Используем свойства логарифмов:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,$$
$$\log_a x^k=k\log_a x.$$

а)
$$\log_7 3-\log_7 21=\log_7\frac{3}{21}=\log_7\frac{1}{7}=-1.$$
б)
$$\log_{2,5}12,5+\log_{2,5}0,5=\log_{2,5}(12,5\cdot 0,5)=\log_{2,5}6,25=2.$$
в)
$$36^{\log_6 3}+\log_4 8=(6^2)^{\log_6 3}+\log_{2^2}2^3=6^{2\log_6 3}+\frac{3}{2}.$$
Так как $$6^{\log_6 3}=3,$$ то
$$6^{2\log_6 3}=3^2=9.$$
Тогда
$$9+\frac{3}{2}=10,5.$$
г)
$$(\sqrt{5})^{\log_5 4}+\log_{0,25}2=(5^{1/2})^{\log_5 4}+\log_{2^{-2}}2.$$
Получаем
$$5^{\frac12\log_5 4}=4^{1/2}=2,$$
а также
$$\log_{0,25}2=\log_{2^{-2}}2=-\frac12.$$
Значит,
$$2-\frac12=1,5.$$
д)
$$\log_2 25\cdot \log_5 8=\log_2 5^2\cdot \log_5 2^3=2\log_2 5\cdot 3\log_5 2.$$
Так как $$\log_2 5\cdot \log_5 2=1,$$ то
$$2\cdot 3=6.$$
е)
$$\log_3 64\cdot \log_2 81=\log_3 2^6\cdot \log_2 3^4=6\log_3 2\cdot 4\log_2 3.$$
Поскольку $$\log_3 2\cdot \log_2 3=1,$$ получаем
$$6\cdot 4=24.$$
Пусть $$\log_5 2=a,$$ $$\log_5 3=b.$$
а)
$$\log_5 24=\log_5(8\cdot 3)=\log_5 8+\log_5 3=3\log_5 2+\log_5 3=3a+b.$$
б)
$$\log_5 36=\log_5(4\cdot 9)=\log_5 4+\log_5 9=2\log_5 2+2\log_5 3=2a+2b.$$
в)
$$\log_5 54=\log_5(2\cdot 27)=\log_5 2+\log_5 27=\log_5 2+3\log_5 3=a+3b.$$
г)
$$\log_5 72=\log_5(8\cdot 9)=\log_5 8+\log_5 9=3\log_5 2+2\log_5 3=3a+2b.$$
д)
$$\log_5 6,75=\log_5\frac{27}{4}=\log_5 27-\log_5 4=3\log_5 3-2\log_5 2=3b-2a.$$
е)
$$\log_5\frac{2}{9}=\log_5 2-\log_5 9=a-2b.$$