Упр.5.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Выразите приращение $$\Delta y$$ данной функции $$y=f(x)$$ через приращение $$\Delta x$$ аргумента при переходе от точки $$x$$ к точке $$x+\Delta x$$:
   а) $$f(x)=kx+b$$;
   г) $$f(x)=kx$$;
   б) $$f(x)=ax^2+bx+c$$;
   д) $$f(x)=ax^2$$;
   в) $$f(x)=\log_a(x)$$;
   е) $$f(x)=\frac{a}{x}$$.

1. Для линейной функции $$f(x)=kx+b$$:

   $$f(x+\Delta x)=k(x+\Delta x)+b=kx+k\Delta x+b$$

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=k\Delta x$$

2. Для квадратичной функции $$f(x)=ax^2+bx+c$$:

   $$f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c$$

   $$=a(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2)+bx+b\Delta x+c$$

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta x\,(2ax+a\Delta x+b)$$

3. Для логарифмической функции $$f(x)=\log_a x$$:

   $$f(x+\Delta x)=\log_a(x+\Delta x)$$

   $$\Delta y=\log_a(x+\Delta x)-\log_a x=\log_a\frac{x+\Delta x}{x}=\log_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)$$

4. Для функции $$f(x)=kx$$:

   $$f(x+\Delta x)=k(x+\Delta x)=kx+k\Delta x$$

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=k\Delta x$$

5. Для функции $$f(x)=ax^2$$:

   $$f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2=ax^2+2ax\Delta x+a(\Delta x)^2$$

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=a\Delta x(2x+\Delta x)$$

6. Для функции $$f(x)=\dfrac{a}{x}$$:

   $$f(x+\Delta x)=\frac{a}{x+\Delta x}$$

   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{a}{x+\Delta x}-\frac{a}{x}=-\frac{a\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$

Ответ

а) $$\Delta y=k\Delta x$$;
б) $$\Delta y=\Delta x\,(2ax+a\Delta x+b)$$;
в) $$\Delta y=\log_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)$$;
г) $$\Delta y=k\Delta x$$;
д) $$\Delta y=a\Delta x(2x+\Delta x)$$;
е) $$\Delta y=-\frac{a\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$.