Упр.5.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Выразите приращение $$\Delta y$$ данной функции $$y=f(x)$$ через приращение $$\Delta x$$ аргумента при переходе от точки $$x$$ к точке $$x+\Delta x$$:
   а) $$f(x)=2^{x+1}$$; г) $$f(x)=3^x$$; б) $$f(x)=\lg(x)$$; д) $$f(x)=\ln(x)$$; в) $$f(x)=\cos(x)$$; е) $$f(x)=\sin(x)$$.

Найдём приращение функции по формуле $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$$

1. $$f(x)=2^{x+1}$$

   $$f(x+\Delta x)=2^{x+\Delta x+1}$$

   $$\Delta y=2^{x+\Delta x+1}-2^{x+1}=2^{x+1}\left(2^{\Delta x}-1\right).$$

2. $$f(x)=\lg x$$

   $$f(x+\Delta x)=\lg(x+\Delta x)$$

   $$\Delta y=\lg(x+\Delta x)-\lg x=\lg\frac{x+\Delta x}{x}=\lg\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right).$$

3. $$f(x)=\cos x$$

   $$f(x+\Delta x)=\cos(x+\Delta x)$$

   $$\Delta y=\cos(x+\Delta x)-\cos x=-2\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}.$$

4. $$f(x)=3^x$$

   $$f(x+\Delta x)=3^{x+\Delta x}$$

   $$\Delta y=3^{x+\Delta x}-3^x=3^x\left(3^{\Delta x}-1\right).$$

5. $$f(x)=\ln x$$

   $$f(x+\Delta x)=\ln(x+\Delta x)$$

   $$\Delta y=\ln(x+\Delta x)-\ln x=\ln\frac{x+\Delta x}{x}=\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right).$$

6. $$f(x)=\sin x$$

   $$f(x+\Delta x)=\sin(x+\Delta x)$$

   $$\Delta y=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right).$$

Ответ

а) $$\Delta y=2^{x+1}\left(2^{\Delta x}-1\right);$$
б) $$\Delta y=\lg\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right);$$
в) $$\Delta y=-2\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2};$$
г) $$\Delta y=3^x\left(3^{\Delta x}-1\right);$$
д) $$\Delta y=\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right);$$
е) $$\Delta y=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right).$$