Упр.4.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

a) D(f)=(-?; -1)?(-1; +?), функция непрерывна на промежутках (-?; -1) и (-1; +?), f(0)=2, (x>-1)lim(f(x))=0, (x>?)lim(f(x))=6.
б) D(f)=(-?; +?), функция непрерывна на промежутках (-?; -1) и (-1; +?), f(0)=2, (x>-1)lim(f(x))=0, f(-1)=-2, (x>-?)lim(f(x))=3, (x>+?)lim(f(x))=0.

1. а) Область определения: $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

   Значит, график состоит из двух ветвей и не имеет точки при $$x=-1.$$

   Так как $$f(0)=2,$$ график проходит через точку $$\left(0;2\right).$$

   Из условий

   $$\lim_{x\to-1}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=6$$

   следует, что при приближении к $$x=-1$$ график стремится к точке с ординатой $$0,$$ а справа уходит к горизонтальной асимптоте $$y=6.$$

   Эскиз: две непрерывные на своих промежутках ветви, обе подходят к точке $$(-1;0)$$ без её включения; левая ветвь проходит через $$\left(0;2\right),$$ правая при $$x\to+\infty$$ стремится к прямой $$y=6.$$

2. б) Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция непрерывна при $$x\ne -1,$$ а в точке $$x=-1$$ имеет разрыв, причём

   $$f(-1)=-2,\qquad \lim_{x\to-1}f(x)=0.$$

   Значит, на графике должна быть выколотая точка $$(-1;0)$$ и отдельная закрашенная точка $$(-1;-2).$$

   Также

   $$f(0)=2,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=3,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0.$$

   Следовательно, левая ветвь при $$x\to-\infty$$ приближается к прямой $$y=3,$$ проходит через $$\left(0;2\right),$$ а правая ветвь при $$x\to+\infty$$ стремится к оси $$Ox$$, то есть к прямой $$y=0.$$

Ответ

Эскизы графиков должны удовлетворять указанным условиям: в пункте а — две ветви с разрывом при $$x=-1,$$ точкой $$\left(0;2\right)$$ и горизонтальной асимптотой $$y=6$$ справа; в пункте б — график на всей числовой прямой с выколотой точкой $$(-1;0),$$ закрашенной точкой $$(-1;-2),$$ точкой $$\left(0;2\right),$$ а также асимптотами $$y=3$$ при $$x\to-\infty$$ и $$y=0$$ при $$x\to+\infty.$$