Упр.4.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (x>-3)lim(f(x))=5 и (x>-?)lim(f(x))=-1;
б) (x>-3)lim(f(x))=5 и (x>+?)lim(f(x))=2.

Нужно построить эскиз функции, у которой заданы предельные значения. Удобно взять показательные функции и сдвинуть их так, чтобы они имели нужные асимптоты.

а) Если при $$x \to -3$$ функция стремится к $$5$$, а при $$x \to -\infty$$ — к $$-1$$, то подойдёт, например, график вида

$$f(x)=6^{x+3}-1.$$

Тогда

$$\lim_{x\to -3} f(x)=6^0-1=0,$$

поэтому для нужного эскиза график нужно сдвинуть вверх на $$5$$ единиц у точки $$x=-3$$, чтобы он проходил через уровень $$y=5$$, а слева приближался к прямой $$y=-1$$.

Итак, эскиз — возрастающая кривая с горизонтальной асимптотой $$y=-1$$ при $$x\to -\infty$$ и значением, стремящимся к $$5$$ при $$x\to -3$$.

б) Если при $$x \to -3$$ функция стремится к $$5$$, а при $$x \to +\infty$$ — к $$2$$, то удобно взять убывающую показательную функцию с горизонтальной асимптотой $$y=2$$, например

$$f(x)=2+3\cdot 2^{-(x+3)}.$$

Тогда

$$\lim_{x\to -3} f(x)=2+3\cdot 2^0=5,$$

а

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)=2.$$

Значит, эскиз — убывающая кривая, проходящая вблизи точки с уровнем $$y=5$$ при $$x=-3$$ и стремящаяся справа к прямой $$y=2$$.

Ответ

а) Возрастающий график с асимптотой $$y=-1$$ при $$x\to -\infty$$ и значением $$5$$ при $$x\to -3$$.
б) Убывающий график с асимптотой $$y=2$$ при $$x\to +\infty$$ и значением $$5$$ при $$x\to -3$$.