Упр.4.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Постройте эскиз графика функции $$y=f(x)$$, обладающей указанными свойствами: а) $$\lim_{(x>0)} f(x)=3$$ и $$f(x)>0$$ на $$(-?;+\infty)$$; б) $$\lim_{(x>2)} f(x)=-3$$ и $$f(x)<0$$ на $$(-?;+\infty)$$.

Нужно построить эскиз функции, которая:

1. имеет горизонтальную асимптоту $$y=3$$ при $$x\to -\infty$$ и всюду положительна;
2. имеет горизонтальную асимптоту $$y=-3$$ при $$x\to +\infty$$ и всюду отрицательна.

Подойдут, например, показательные функции с нужным сдвигом по вертикали.

а) Возьмём функцию

$$f(x)=3+e^x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to -\infty} f(x)=3,$$

так как $$e^x\to 0$$ при $$x\to -\infty$$. Кроме того, $$e^x>0$$ при всех $$x$$, значит

$$f(x)=3+e^x>0 \quad \text{при всех } x\in(-\infty;+\infty).$$

График — возрастающая кривая, приближающаяся слева к прямой $$y=3$$ и лежащая выше оси $$Ox$$.

б) Возьмём функцию

$$f(x)=-3-e^x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)=-3,$$

так как $$e^x\to +\infty$$, а при движении вправо график уходит ниже прямой $$y=-3$$ и остаётся отрицательным:

$$f(x)=-3-e^x<0 \quad \text{при всех } x\in(-\infty;+\infty).$$

График — убывающая кривая, приближающаяся справа к прямой $$y=-3$$ и лежащая ниже оси $$Ox$$.

Ответ

Например, можно построить графики функций:

а) $$f(x)=3+e^x$$;

б) $$f(x)=-3-e^x$$.