Дополнительная задача 4 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение:

При вращении прямоугольника вокруг оси абсцисс получается цилиндр. Его радиус равен высоте прямоугольника, то есть $$r=R,$$ а высота равна $$H.$$

Тогда площадь поперечного сечения постоянна:

$$S(x)=\pi r^2=\pi R^2.$$

Объём тела вращения:

$$V=\int_0^H S(x)\,dx=\int_0^H \pi R^2\,dx=\pi R^2x\Big|_0^H=\pi R^2H.$$

Если прямоугольник сдвинут вдоль оси абсцисс, например его вершины имеют координаты $$A(1;0),\ B(1;R),\ C(H+1;R),\ D(H+1;0),$$ то радиус и высота цилиндра не меняются, поэтому

$$V=\pi R^2(H+1-1)=\pi R^2H.$$

Аналогично для прямоугольника с вершинами $$A(a;0),\ B(a;R),\ C(H+a;R),\ D(H+a;0)$$ получаем

$$V=\pi R^2(H+a-a)=\pi R^2H.$$

Ответ

$$V=\pi R^2H.$$