Дополнительная задача 4 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Найдите f(2);
б) найдите f'(2);
в) составьте уравнение касательной при x=2;
г) найдите точку пересечения касательной с осью ординат;
д) найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс;
е) найдите подкасательную.

Дана функция $$f(x)=e^x.$$

а) Найдём значение функции при $$x=2$$:

$$f(2)=e^2.$$

б) Найдём производную:

$$f'(x)=e^x,$$

значит

$$f'(2)=e^2.$$

в) Уравнение касательной к графику функции в точке $$x=2$$:

$$y=f(2)+f'(2)(x-2),$$

то есть

$$y=e^2+e^2(x-2)=e^2(x-1).$$

г) Точка пересечения касательной с осью ординат найдётся при $$x=0$$:

$$y=e^2(0-1)=-e^2.$$

Следовательно, точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;\,-e^2\right).$$

д) Точка пересечения касательной с осью абсцисс найдётся при $$y=0$$:

$$e^2(x-1)=0,$$

откуда

$$x=1.$$

Следовательно, точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(1;\,0\right).$$

е) Подкасательная — это отрезок на оси $$Ox$$ от точки пересечения касательной с осью абсцисс до точки касания. Поэтому её длина равна

$$l=2-1=1.$$

Ответ

а) $$e^2$$; б) $$e^2$$; в) $$y=e^2(x-1)$$; г) $$\left(0;\,-e^2\right)$$; д) $$\left(1;\,0\right)$$; е) $$1$$.