Дополнительная задача 4 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Прямоугольник П с вершинами $$\left(0;0\right)$$, $$\left(0;R\right)$$, $$\left(H;R\right)$$, $$\left(H;0\right)$$ вращают на $$360^\circ$$ вокруг оси $$Ox$$. Проверьте, что:
а) для каждого $$0\leq x\leq H$$ отрезок $$\left[(x;0),(x;R)\right]$$ образует круг;
б) радиус этого круга равен $$R$$;
в) площадь этого круга находится по формуле $$S(x)=\pi R^2$$;
г) интеграл $$\int_0^H S(x)\,dx$$ равен $$V=\pi R^2H$$, т. е. равен объёму цилиндра с высотой $$H$$ и радиусом основания $$R$$;
д) такой же ответ $$\pi R^2H$$ получится при вращении прямоугольника с вершинами $$\left(1;0\right)$$, $$\left(1;R\right)$$, $$\left(H+1;R\right)$$, $$\left(H+1;0\right)$$;
е) то же для прямоугольника с вершинами $$\left(a;0\right)$$, $$\left(a;R\right)$$, $$\left(H+a;R\right)$$, $$\left(H+a;0\right)$$.

Подробный ответ

При вращении прямоугольника вокруг оси абсцисс получается цилиндр. Его радиус равен высоте прямоугольника, то есть $$r=R,$$ а высота равна $$H.$$

Тогда площадь поперечного сечения постоянна:

$$S(x)=\pi r^2=\pi R^2.$$

Объём тела вращения:

$$V=\int_0^H S(x)\,dx=\int_0^H \pi R^2\,dx=\pi R^2x\Big|_0^H=\pi R^2H.$$

Если прямоугольник сдвинут вдоль оси абсцисс, например его вершины имеют координаты $$A(1;0),\ B(1;R),\ C(H+1;R),\ D(H+1;0),$$ то радиус и высота цилиндра не меняются, поэтому

$$V=\pi R^2(H+1-1)=\pi R^2H.$$

Аналогично для прямоугольника с вершинами $$A(a;0),\ B(a;R),\ C(H+a;R),\ D(H+a;0)$$ получаем

$$V=\pi R^2(H+a-a)=\pi R^2H.$$