Упр.4.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Пусть $$y=2^x,$$ тогда $$y>0$$ и

$$2^{2x}+9\cdot 2^x-22\le 0 \;\Longrightarrow\; y^2+9y-22\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=9^2+4\cdot 22=169,$$

$$y_1=\frac{-9-13}{2}=-11,\qquad y_2=\frac{-9+13}{2}=2.$$

Так как $$y>0,$$ получаем $$0<y\le 2,$$ то есть

$$2^x\le 2 \;\Longrightarrow\; x\le 1.$$

Ответ: $$(-\infty;1].$$

б) Пусть $$y=5^x,$$ тогда $$y>0$$ и

$$5^{2x+1}-126\cdot 5^x+25\ge 0 \;\Longrightarrow\; 5y^2-126y+25\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=126^2-4\cdot 5\cdot 25=15376,$$

$$y_1=\frac{126-124}{10}=\frac15,\qquad y_2=\frac{126+124}{10}=25.$$

Тогда

$$\left(y-\frac15\right)(y-25)\ge 0,$$

откуда $$y\le \frac15$$ или $$y\ge 25.$$ Значит,

$$5^x\le \frac15 \;\Longrightarrow\; x\le -1,$$

$$5^x\ge 25 \;\Longrightarrow\; x\ge 2.$$

Ответ: $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$

в) Пусть $$y=7^x,$$ тогда $$y>0$$ и

$$7^{x+2}+7^{-x}<50 \;\Longrightarrow\; 49y+\frac1y-50<0.$$

Умножим на $$y>0$$:

$$49y^2-50y+1<0.$$

Найдём корни:

$$D=50^2-4\cdot 49=2304,$$

$$y_1=\frac{50-48}{98}=\frac1{49},\qquad y_2=\frac{50+48}{98}=1.$$

Тогда

$$\frac1{49}<y<1,$$

то есть

$$\frac1{49}<7^x<1 \;\Longrightarrow\; -2<x<0.$$

Ответ: $$(-2;0).$$

г) Пусть $$y=3^x,$$ тогда $$y>0$$ и

$$3^{2x}-5\cdot 3^x>36 \;\Longrightarrow\; y^2-5y-36>0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2+4\cdot 36=169,$$

$$y_1=\frac{5-13}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{5+13}{2}=9.$$

Так как $$y>0,$$ получаем $$y>9,$$ значит

$$3^x>9 \;\Longrightarrow\; x>2.$$

Ответ: $$(2;+\infty).$$

д) Пусть $$y=4^x,$$ тогда $$y>0$$ и

$$4^{2x+1}-257\cdot 4^x+64\le 0 \;\Longrightarrow\; 4y^2-257y+64\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=257^2-4\cdot 4\cdot 64=65025,$$

$$y_1=\frac{257-255}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{257+255}{8}=64.$$

Тогда

$$\frac14\le y\le 64,$$

то есть

$$\frac14\le 4^x\le 64 \;\Longrightarrow\; -1\le x\le 3.$$

Ответ: $$[-1;3].$$

е) Пусть $$y=11^x,$$ тогда $$y>0$$ и

$$11^{x+1}+11^{-x}\ge 12 \;\Longrightarrow\; 11y+\frac1y-12\ge 0.$$

Умножим на $$y>0$$:

$$11y^2-12y+1\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2-4\cdot 11\cdot 1=100,$$

$$y_1=\frac{12-10}{22}=\frac1{11},\qquad y_2=\frac{12+10}{22}=1.$$

Тогда

$$y\le \frac1{11}\ \text{или}\ y\ge 1,$$

то есть

$$11^x\le \frac1{11}\;\Longrightarrow\; x\le -1,$$

$$11^x\ge 1\;\Longrightarrow\; x\ge 0.$$

Ответ: $$(-\infty;-1]\cup[0;+\infty).$$