Упр.4.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Решите уравнение 3^(x^2+4x+1) + 3^(x^2+4x) = 36 и найдите его корни, принадлежащие отрезку [-4; 1].

а)

$$5^{x^2+2x+1}+5^{x^2+2x}=30$$

Вынесем общий множитель:
$$5\cdot 5^{x^2+2x}+5^{x^2+2x}=30$$
$$6\cdot 5^{x^2+2x}=30$$
$$5^{x^2+2x}=5$$

Тогда
$$x^2+2x=1$$
$$x^2+2x-1=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt2$$

Проверяем отрезок $$[-2;1]$$: подходит только
$$x=-1+\sqrt2=\sqrt2-1.$$

б)

$$3^{x^2+4x+1}+3^{x^2+4x}=36$$

Вынесем общий множитель:
$$3\cdot 3^{x^2+4x}+3^{x^2+4x}=36$$
$$4\cdot 3^{x^2+4x}=36$$
$$3^{x^2+4x}=9$$

Тогда
$$x^2+4x=2$$
$$x^2+4x-2=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-2)=24$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=-2\pm\sqrt6$$

Проверяем отрезок $$[-4;1]$$: подходят оба корня
$$x=-2-\sqrt6,\quad x=-2+\sqrt6.$$

Ответ

а) $$x=\sqrt2-1$$.

б) $$x=-2-\sqrt6,\; -2+\sqrt6$$.