Упр.4.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 32^(x-7) = 0,25; г) 0,4^(20+x) = 2,5^(-x^2);
б) 125^(x+3) = 0,04; д) 5^(x+4) = 6,25 · 25^(x+4);
в) 81^(12-x) = 0,125^(-x^2); е) 4^(x-5) = 0,064 · 10^(x-5).

Подробный ответ

а) $$32^{x-7}=0{,}25$$
Представим числа в виде степеней двойки:
$$32=2^5,\quad 0{,}25=\frac14=2^{-2}$$
Тогда
$$2^{5(x-7)}=2^{-2}$$
Приравниваем показатели:
$$5x-35=-2$$
$$5x=33,\quad x=\frac{33}{5}$$
б) $$125^{x+3}=0{,}04$$
$$125=5^3,\quad 0{,}04=\frac1{25}=5^{-2}$$
Тогда
$$5^{3(x+3)}=5^{-2}$$
$$3x+9=-2$$
$$3x=-11,\quad x=-\frac{11}{3}$$
в) $$81^{12-x}=0{,}125^{-x^2}$$
$$81=3^4,\quad 0{,}125=\frac18=2^{-3}$$
Удобнее записать обе части через основание $8$:
$$81^{12-x}=\left(\frac18\right)^{-x^2}=8^{x^2}$$
Так как $$81=3^4$$, а правая часть имеет основание $8$, приведём уравнение к показателям:
$$12-x=x^2$$
$$x^2+x-12=0$$
$$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x=-4 \text{ или } x=3$$
г) $$0{,}4^{20+x}=2{,}5^{-x^2}$$
$$0{,}4=\frac25,\quad 2{,}5=\frac52$$
Тогда
$$\left(\frac25\right)^{20+x}=\left(\frac52\right)^{-x^2}=\left(\frac25\right)^{x^2}$$
Следовательно,
$$20+x=x^2$$
$$x^2-x-20=0$$
$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)=0$$
$$x=-4 \text{ или } x=5$$
д) $$5^{x+4}=6{,}25\cdot 25^{x+4}$$
$$6{,}25=\frac{25}{4},\quad 25=5^2$$
Тогда
$$5^{x+4}=\frac{25}{4}\cdot 5^{2(x+4)}$$
Разделим обе части на $$5^{x+4}$$:
$$1=\frac{25}{4}\cdot 5^{x+4}$$
Отсюда
$$5^{x+4}=\frac{4}{25}=5^{-2}$$
$$x+4=-2,\quad x=-6$$
е) $$4^{x-5}=0{,}064\cdot 10^{x-5}$$
$$0{,}064=\frac{64}{1000}=\frac{8}{125}$$
Тогда
$$4^{x-5}=\frac{8}{125}\cdot 10^{x-5}$$
Перепишем уравнение в виде
$$\left(\frac{4}{10}\right)^{x-5}=\left(\frac{4}{10}\right)^3$$
Следовательно,
$$x-5=3,\quad x=8$$