Упр.4.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\lim_{x>0}\frac{\sin(7x)-\sin(4x)+\sin(x)}{\sin(2x)+\cos(x)-\cos(5x)}$$;
б) $$\lim_{x>0}\frac{\sin(5x)-\cos(x)+\cos(11x)}{\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)}$$. - Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x+?,&x<-?;\\ \sin(x),&-??x а) Постройте график функции $$y=f(x)$$;
б) укажите промежутки возрастания и убывания функции;
в) укажите промежутки, на которых $$f(x)>0$$;
г) найдите, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет более двух корней.
а) Используем формулы приведения к произведению:
$$\sin 7x-\sin 4x=2\cos \frac{11x}{2}\sin \frac{3x}{2},$$
$$\sin 2x+\cos x-\cos 5x=\sin 2x+2\sin 3x\sin 2x=\sin 2x(1+2\sin 3x).$$
Тогда
$$\frac{\sin 7x-\sin 4x+\sin x}{\sin 2x+\cos x-\cos 5x} = \frac{2\sin 4x\cos 3x-\sin 4x}{\sin 2x+2\sin 3x\sin 2x} = \frac{\sin 4x(2\cos 3x-1)}{\sin 2x(1+2\sin 3x)}.$$
Переходим к пределу:
$$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,$$
поэтому
$$\frac{\sin 4x(2\cos 3x-1)}{\sin 2x(1+2\sin 3x)} = \frac{2\cos 2x(2\cos 3x-1)}{1+2\sin 3x}.$$
При $$x\to 0$$ получаем
$$\frac{2\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)}{1+2\cdot 0}=2.$$
б) Преобразуем числитель и знаменатель:
$$\sin 5x-\cos x+\cos 11x = \sin 5x+2\sin 5x\sin 6x = \sin 5x(1+2\sin 6x),$$
$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x = \sin 2x+2\sin 2x\cos x = \sin 2x(1+2\cos x).$$
Тогда
$$\frac{\sin 5x-\cos x+\cos 11x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x} = \frac{\sin 5x(1+2\sin 6x)}{\sin 2x(1+2\cos x)}.$$
Разобьём на множители:
$$\frac{\sin 5x}{\sin 2x}\cdot \frac{1+2\sin 6x}{1+2\cos x}.$$
При $$x\to 0$$ имеем
$$\frac{\sin 5x}{\sin 2x}\to \frac{5}{2}, \qquad \frac{1+2\sin 6x}{1+2\cos x}\to \frac{1}{3}.$$
Следовательно,
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x-\cos x+\cos 11x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x} = \frac{5}{2}\cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.$$
Ответ
а) $$2$$;
б) $$\frac{5}{6}$$.
