Упр.4.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) lim (x>0) (sin(7x) — sin(4x) + sin(x)) / (sin(2x) + cos(x) — cos(5x));
б) lim (x>0) (sin(5x) — cos(x) + cos(11x)) / (sin(x) + sin(2x) + sin(3x)). Дана функция y=f(x), где f(x)={x+?, если x<-?; sin(x), если -??x0;
г) найдите, при каких значениях параметра р уравнение f(x)=p имеет более двух корней.

а) Используем формулы приведения к произведению:

$$ \sin 7x-\sin 4x=2\cos \frac{11x}{2}\sin \frac{3x}{2}, $$
$$ \sin 2x+\cos x-\cos 5x=\sin 2x+2\sin 3x\sin 2x=\sin 2x(1+2\sin 3x). $$
Тогда
$$ \frac{\sin 7x-\sin 4x+\sin x}{\sin 2x+\cos x-\cos 5x} = \frac{2\sin 4x\cos 3x-\sin 4x}{\sin 2x+2\sin 3x\sin 2x} = \frac{\sin 4x(2\cos 3x-1)}{\sin 2x(1+2\sin 3x)}. $$
Переходим к пределу:
$$ \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x, $$
поэтому
$$ \frac{\sin 4x(2\cos 3x-1)}{\sin 2x(1+2\sin 3x)} = \frac{2\cos 2x(2\cos 3x-1)}{1+2\sin 3x}. $$
При $x\to 0$ получаем
$$ \frac{2\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)}{1+2\cdot 0}=2. $$

б) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \sin 5x-\cos x+\cos 11x = \sin 5x+2\sin 5x\sin 6x = \sin 5x(1+2\sin 6x), $$
$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x = \sin 2x+2\sin 2x\cos x = \sin 2x(1+2\cos x). $$
Тогда
$$ \frac{\sin 5x-\cos x+\cos 11x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x} = \frac{\sin 5x(1+2\sin 6x)}{\sin 2x(1+2\cos x)}. $$
Разобьём на множители:
$$ \frac{\sin 5x}{\sin 2x}\cdot \frac{1+2\sin 6x}{1+2\cos x}. $$
При $x\to 0$ имеем
$$ \frac{\sin 5x}{\sin 2x}\to \frac{5}{2}, \qquad \frac{1+2\sin 6x}{1+2\cos x}\to \frac{1}{3}. $$
Следовательно,
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x-\cos x+\cos 11x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x} = \frac{5}{2}\cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{6}. $$

Ответ

а) $$2$$;
б) $$\frac{5}{6}$$.