Упр.4.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) lim (x>0) (sin(3x) + sin(5x)) / (sin(10x) — sin(2x)); в) lim (x>0) (x(tg(7x) — tg(5x))) / (cos(x) — cos(3x));
б) lim (x>0) (1 — cos(2x)) / tg^2(5x); г) lim (x>0) (x tg(3x) / (1 — cos(4x))). Решите уравнение:
а) (v50)^x·(v2)^x=0,1;
б) 3·(1/5)^(3x+7)-10·(1/5)^(3x+8)=25;
в) (v3)^(2x)·(2v3)^(2x)=36;
г) 5·(1/6)^(5x+3)+12·(1/6)^(5x+4)=42.

1. а)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x+\sin 5x}{\sin 10x-\sin 2x} =\lim_{x\to 0}\frac{2\sin 4x\cos x}{2\sin 4x\cos 6x} =\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{\cos 6x}=1.$$

2. б)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{\tg^2 5x} =\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2 x}{\sin^2 5x/\cos^2 5x} =2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot\frac{x^2}{\sin^2 5x}\cdot\cos^2 5x.$$

   Так как $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,$$ то
   $$2\cdot 1\cdot \frac{1}{25}\cdot 1=\frac{2}{25}.$$

3. в)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{x(\tg 7x-\tg 5x)}{\cos x-\cos 3x} =\lim_{x\to 0}\frac{x\left(\frac{\sin 7x}{\cos 7x}-\frac{\sin 5x}{\cos 5x}\right)}{\cos x-\cos 3x}.$$

   Преобразуем разность тангенсов:
   $$\tg 7x-\tg 5x=\frac{\sin 7x\cos 5x-\sin 5x\cos 7x}{\cos 7x\cos 5x} =\frac{\sin 2x}{\cos 7x\cos 5x}.$$

   Тогда
   $$\lim_{x\to 0}\frac{x\sin 2x}{(\cos x-\cos 3x)\cos 7x\cos 5x}.$$
   Используем формулу
   $$\cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x,$$
   получаем
   $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{2\sin x\cos 7x\cos 5x}.$$
   Следовательно,
   $$\frac12\cdot \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\cdot \frac{1}{\cos 7x\cos 5x} =\frac12.$$

4. г)

   $$\lim_{x\to 0}\frac{x\tg 3x}{1-\cos 4x} =\lim_{x\to 0}\frac{x\sin 3x}{\cos 3x\cdot 2\sin^2 2x}.$$

   Представим в виде произведения:
   $$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{4x^2}{\sin^2 2x}\cdot \frac{3}{8\cos 3x}\right).$$
   Тогда
   $$1\cdot 1\cdot \frac{3}{8\cdot 1}=\frac{3}{8}.$$

5. а)

   $$\left(\sqrt{50}\right)^x\cdot \left(\sqrt{2}\right)^x=0{,}1.$$
   Тогда
   $$\left(\sqrt{100}\right)^x=0{,}1,$$
   $$10^x=10^{-1},\quad x=-1.$$

6. б)

   $$3\left(\frac15\right)^{3x+7}-10\left(\frac15\right)^{3x+8}=25.$$
   Вынесем общий множитель:
   $$3\left(\frac15\right)^{3x+7}-2\left(\frac15\right)^{3x+7}=25,$$
   $$\left(\frac15\right)^{3x+7}=25^{-1}=\left(\frac15\right)^2.$$
   Значит,
   $$3x+7=-2,\quad x=-3.$$

7. в)

   $$(\sqrt3)^{2x}\cdot (2\sqrt3)^{2x}=36.$$
   Тогда
   $$\left(\sqrt3\cdot 2\sqrt3\right)^{2x}=36,$$
   $$6^{2x}=36=6^2,$$
   $$2x=2,\quad x=1.$$

8. г)

   $$5\left(\frac16\right)^{5x+3}+12\left(\frac16\right)^{5x+4}=42.$$
   Вынесем общий множитель:
   $$5\left(\frac16\right)^{5x+3}+2\left(\frac16\right)^{5x+3}=42,$$
   $$7\left(\frac16\right)^{5x+3}=42,$$
   $$\left(\frac16\right)^{5x+3}=6=\left(\frac16\right)^{-1}.$$
   Значит,
   $$5x+3=-1,\quad x=-\frac45.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{2}{25}$$; в) $$\frac12$$; г) $$\frac38$$;
а) $$-1$$; б) $$-3$$; в) $$1$$; г) $$-\frac45$$.