Упр.4.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Вычислите:
а) $$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2}{\sin(2x)\cdot\sin(3x)}$$;
б) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{\sin(6x)}$$;
в) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)\cdot\sin(5x)\cdot\sin(6x)}{2x^2}$$;
г) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)\cdot\sin(5x)}{6x^2}$$;
д) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(7x)}$$;
е) $$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2\cdot\cos(2x)}{\sin(3x)\cdot\sin(4x)}$$.
Докажите, что число $$T$$ является периодом функции $$y=f(x)$$, если:
а) $$f(x)=\sin\left(\frac{x}{3}\right),\quad T=6\pi$$;
б) $$f(x)=\cos\left(\frac{2x}{3}\right),\quad T=-6\pi$$;
в) $$f(x)=2\operatorname{tg}(2x),\quad T=\frac{3\pi}{2}$$;
г) $$f(x)=\cos\left(\frac{x}{4}\right),\quad T=8\pi$$;
д) $$f(x)=\sin\left(\frac{3x}{4}\right),\quad T=-12\pi$$;
е) $$f(x)=\frac{1}{2}\operatorname{ctg}(3x),\quad T=\frac{4\pi}{3}$$.
Используем замечательные пределы:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,$$
$$\lim_{x\to 0}\cos x=1.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2}{\sin 2x\cdot \sin 3x} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x} =\frac12.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\sin 6x} =\lim_{x\to 0}\frac{2}{3}\cdot \frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{6x}{\sin 6x} =\frac23.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cdot \sin 5x\cdot \sin 6x}{2x^2} =\lim_{x\to 0}\left(15x\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{\sin 6x}{6x}\right)=0.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cdot \sin 5x}{6x^2} =\lim_{x\to 0}\frac56\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin 5x}{5x} =\frac56.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 7x} =\lim_{x\to 0}\frac27\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{7x}{\sin 7x} =\frac27.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2\cos 2x}{\sin 3x\cdot \sin 4x} =\lim_{x\to 0}\frac14\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{\sin 2x}{2x} =\frac14.$$
Проверим периодичность функций. Для этого подставим $$x+T$$ и убедимся, что значение функции не меняется.
$$f(x)=\sin\frac{x}{3},\quad T=6\pi.$$
Тогда
$$f(x+T)=\sin\frac{x+6\pi}{3}=\sin\left(\frac{x}{3}+2\pi\right)=\sin\frac{x}{3}.$$
Значит, $$T$$ — период.$$f(x)=\cos\frac{2x}{3},\quad T=-6\pi.$$
Тогда
$$f(x+T)=\cos\frac{2x-12\pi}{3}=\cos\left(\frac{2x}{3}-4\pi\right)=\cos\frac{2x}{3}.$$
Значит, $$T$$ — период.$$f(x)=2\tg 2x,\quad T=\frac{3\pi}{2}.$$
Тогда
$$f(x+T)=2\tg\left(2x+3\pi\right)=2\tg 2x.$$
Значит, $$T$$ — период.$$f(x)=\cos\frac{x}{4},\quad T=8\pi.$$
Тогда
$$f(x+T)=\cos\frac{x+8\pi}{4}=\cos\left(\frac{x}{4}+2\pi\right)=\cos\frac{x}{4}.$$
Значит, $$T$$ — период.$$f(x)=\sin\frac{3x}{4},\quad T=-12\pi.$$
Тогда
$$f(x+T)=\sin\frac{3x-36\pi}{4}=\sin\left(\frac{3x}{4}-9\pi\right)=-\sin\frac{3x}{4}.$$
Следовательно, $$T$$ не является периодом.$$f(x)=\frac12\ctg 3x,\quad T=\frac{4\pi}{3}.$$
Тогда
$$f(x+T)=\frac12\ctg\left(3x+4\pi\right)=\frac12\ctg 3x.$$
Значит, $$T$$ — период.
Ответ
$$\frac12;\ \frac23;\ 0;\ \frac56;\ \frac27;\ \frac14.$$
Периодами являются: $$6\pi,\ -6\pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 8\pi,\ \frac{4\pi}{3}$$; число $$-12\pi$$ периодом не является.
