Упр.4.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (x>0)lim(3x^2/(sin(2x)·sin(3x)); г) (x>0)lim(sin(x)·sin(5x)/(6x^2));
б) (x>0)lim(sin(4x)/sin(6x)); д) (x>0)lim(sin(2x)/sin(7x));
в) (x>0)lim(sin(x)·sin(5x)·sin(6x)/(2x^2)); е) (x>0)lim(3x^2·cos(2x)/(sin(3x)·sin(4x))). Докажите, что число Т является периодом функции y=f(x), если:
а) f(x)=sin(x/3), T=6?; г) f(x)=cos(x/4), T=8?;
б) f(x)=cos(2x/3), T=-6?; д) f(x)=sin(3x/4), T=-12?;
в) f(x)=2tg(2x), T=3?/2; е) f(x)=(1/2)ctg(3x), T=4?/3.

Используем замечательные пределы:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,$$
$$\lim_{x\to 0}\cos x=1.$$

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2}{\sin 2x\cdot \sin 3x} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x} =\frac12.$$

2. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\sin 6x} =\lim_{x\to 0}\frac{2}{3}\cdot \frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{6x}{\sin 6x} =\frac23.$$

3. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cdot \sin 5x\cdot \sin 6x}{2x^2} =\lim_{x\to 0}\left(15x\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{\sin 6x}{6x}\right)=0.$$

4. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cdot \sin 5x}{6x^2} =\lim_{x\to 0}\frac56\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin 5x}{5x} =\frac56.$$

5. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 7x} =\lim_{x\to 0}\frac27\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{7x}{\sin 7x} =\frac27.$$

6. $$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2\cos 2x}{\sin 3x\cdot \sin 4x} =\lim_{x\to 0}\frac14\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{\sin 2x}{2x} =\frac14.$$

Проверим периодичность функций. Для этого подставим $x+T$ и убедимся, что значение функции не меняется.

7. $$f(x)=\sin\frac{x}{3},\quad T=6\pi.$$
   Тогда
   $$f(x+T)=\sin\frac{x+6\pi}{3}=\sin\left(\frac{x}{3}+2\pi\right)=\sin\frac{x}{3}.$$
   Значит, $T$ — период.

8. $$f(x)=\cos\frac{2x}{3},\quad T=-6\pi.$$
   Тогда
   $$f(x+T)=\cos\frac{2x-12\pi}{3}=\cos\left(\frac{2x}{3}-4\pi\right)=\cos\frac{2x}{3}.$$
   Значит, $T$ — период.

9. $$f(x)=2\tg 2x,\quad T=\frac{3\pi}{2}.$$
   Тогда
   $$f(x+T)=2\tg\left(2x+3\pi\right)=2\tg 2x.$$
   Значит, $T$ — период.

10. $$f(x)=\cos\frac{x}{4},\quad T=8\pi.$$
    Тогда
    $$f(x+T)=\cos\frac{x+8\pi}{4}=\cos\left(\frac{x}{4}+2\pi\right)=\cos\frac{x}{4}.$$
    Значит, $T$ — период.

11. $$f(x)=\sin\frac{3x}{4},\quad T=-12\pi.$$
    Тогда
    $$f(x+T)=\sin\frac{3x-36\pi}{4}=\sin\left(\frac{3x}{4}-9\pi\right)=-\sin\frac{3x}{4}.$$
    Следовательно, $T$ не является периодом.

12. $$f(x)=\frac12\ctg 3x,\quad T=\frac{4\pi}{3}.$$
    Тогда
    $$f(x+T)=\frac12\ctg\left(3x+4\pi\right)=\frac12\ctg 3x.$$
    Значит, $T$ — период.

Ответ

$$\frac12;\ \frac23;\ 0;\ \frac56;\ \frac27;\ \frac14.$$
Периодами являются: $6\pi,\ -6\pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 8\pi,\ \frac{4\pi}{3}$; число $-12\pi$ периодом не является.