Упр.4.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) lim (x>1) sin(x — 1) / (2x — 2); в) lim (x>?/3) sin(3x — ?) / (6? — 18x);
б) lim (x>?/2) cos(x) / (2x — ?); г) lim (x>?/4) cos(2x) / (4x — ?). Исследуйте функцию y=f(x) на чётность, если:
а) f(x)=x^5-4x·cos(x); г) f(x)=6x^4-x^2·cos(x);
б) f(x)=2^x^2·sin(3x); д) f(x)=-log_2|x|·tg(x);
в) f(x)=2^cos(x)/(x-x^3); е) f(x)=(x^5-4)/cos(3x).

Подробный ответ

Вычислим пределы, используя стандартные замечательные пределы:

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,$$
$$\lim_{t\to 0}\frac{\cos t}{t} \text{ не существует, но в данных примерах выражение приводится к виду с } \sin t.$$

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{2x-2} =\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{2(x-1)} =\frac12\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x-1} =\frac12.$$
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{2x-\pi} =\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{-2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} =-\frac12\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\frac{\pi}{2}-x} =-\frac12.$$
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{\sin(3x-\pi)}{6\pi-18x} =\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{\sin(3x-\pi)}{-6(3x-\pi)} =-\frac16\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{\sin(3x-\pi)}{3x-\pi} =-\frac16.$$
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{4x-\pi} =\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{-2\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)} =-\frac12\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\frac{\pi}{2}-2x} =-\frac12.$$

Исследуем функции на чётность. Напомним: если $$f(-x)=f(x),$$ то функция чётная; если $$f(-x)=-f(x),$$ то нечётная.

$$f(x)=x^5-4x\cos x.$$
$$f(-x)=(-x)^5-4(-x)\cos(-x)=-x^5+4x\cos x=-f(x).$$
Функция нечётная.
$$f(x)=2^{x^2}\sin 3x.$$
$$f(-x)=2^{(-x)^2}\sin(-3x)=2^{x^2}(-\sin 3x)=-f(x).$$
Функция нечётная.
$$f(x)=\frac{2^{\cos x}}{x-x^3}.$$
Область определения: $$x\neq 0,\; x\neq \pm 1.$$
$$f(-x)=\frac{2^{\cos(-x)}}{-x-(-x)^3} =\frac{2^{\cos x}}{-x+x^3} =-\frac{2^{\cos x}}{x-x^3} =-f(x).$$
Функция нечётная.
$$f(x)=6x^4-x^2\cos x.$$
$$f(-x)=6(-x)^4-(-x)^2\cos(-x)=6x^4-x^2\cos x=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=-\log_2|x|\cdot \tg x.$$
Область определения: $$x\neq 0,\; x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$f(-x)=-\log_2|-x|\cdot \tg(-x) =-\log_2|x|\cdot(-\tg x) =\log_2|x|\cdot \tg x =-f(x).$$
Функция нечётная.
$$f(x)=\frac{x^5-4}{\cos 3x}.$$
Область определения: $$\cos 3x\neq 0,$$ то есть $$x\neq \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
$$f(-x)=\frac{(-x)^5-4}{\cos(-3x)} =\frac{-x^5-4}{\cos 3x}.$$
При этом $$f(-x)\neq f(x)$$ и $$f(-x)\neq -f(x).$$ Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.