Дополнительная задача 4 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение $$a$$, начиная с которого все члены последовательности $$x_n=\frac{10n+21}{n+1}$$, $$n\in\mathbb{N}$$, принадлежат окрестности точки $$10$$ радиусом $$r$$: а) $$r=10$$; б) $$r=5$$; в) $$r=2$$; г) $$r=1$$; д) $$r=0{,}1$$; е) $$r=0{,}01$$.

Для окрестности точки $$10$$ радиуса $$r$$ нужно, чтобы

$$10-r<x_n<10+r,$$

где

$$x_n=\frac{10n+21}{n+1}.$$

Преобразуем дробь:

$$x_n=\frac{10(n+1)+11}{n+1}=10+\frac{11}{n+1}.$$

Так как $$n\in \mathbb{N}$$, то $$n+1>0$$, и потому

$$\left|x_n-10\right|=\frac{11}{n+1}.$$

Требование $$x_n$$ принадлежать окрестности точки $$10$$ радиуса $$r$$ равносильно неравенству

$$\frac{11}{n+1}<r.$$

Отсюда

$$n+1>\frac{11}{r}, \qquad n>\frac{11}{r}-1.$$

Найдем наименьшее натуральное $$a$$ для каждого значения $$r$$:

1. $$r=10$$: $$n>\frac{11}{10}-1=0{,}1$$, значит, $$a=1$$.
2. $$r=5$$: $$n>\frac{11}{5}-1=1{,}2$$, значит, $$a=2$$.
3. $$r=2$$: $$n>\frac{11}{2}-1=4{,}5$$, значит, $$a=5$$.
4. $$r=1$$: $$n>11-1=10$$, значит, $$a=11$$.
5. $$r=0{,}1$$: $$n>110-1=109$$, значит, $$a=110$$.
6. $$r=0{,}01$$: $$n>1100-1=1099$$, значит, $$a=1100$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$5$$; г) $$11$$; д) $$110$$; е) $$1100$$.