Упр.4.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (x>0)lim(tg(2x)/sin(2x)); б) (x>?/2)lim(cos(x)/ctg(x)). Вычислите:
а) (x>0)lim(3x^2/(sin(2x)·sin(3x)); г) (x>0)lim(sin(x)·sin(5x)/(6x^2));
б) (x>0)lim(sin(4x)/sin(6x)); д) (x>0)lim(sin(2x)/sin(7x));
в) (x>0)lim(sin(x)·sin(5x)·sin(6x)/(2x^2)); е) (x>0)lim(3x^2·cos(2x)/(sin(3x)·sin(4x))).
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 2x}{\sin 2x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos 2x}=\frac{1}{\cos 0}=1.$$
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\ctg x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x=\sin \frac{\pi}{2}=1.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2}{\sin 2x\cdot \sin 3x} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{\sin 3x}{3x} =\frac{1}{2}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\sin 6x} =\lim_{x\to 0}\frac{2}{3}\cdot \frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{6x}{\sin 6x} =\frac{2}{3}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cdot \sin 5x\cdot \sin 6x}{2x^2} =\lim_{x\to 0}\left(15x\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{\sin 6x}{6x}\right)=0.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\cdot \sin 5x}{6x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{5}{6}\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin 5x}{5x} =\frac{5}{6}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 7x} =\lim_{x\to 0}\frac{2}{7}\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{7x}{\sin 7x} =\frac{2}{7}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2\cdot \cos 2x}{\sin 3x\cdot \sin 4x} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{4}\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{\sin 2x}{2x} =\frac{1}{4}.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$\frac{1}{2}$$; г) $$\frac{2}{3}$$; д) $$0$$; е) $$\frac{5}{6}$$; ж) $$\frac{2}{7}$$; з) $$\frac{1}{4}$$.
