Упр.4.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (x>0)lim(x/sin(2x)); в) (x>0)lim(3x/sin(7x)); д) (x>0)lim(sin(5x)/(2x));
б) (x>0)lim(sin(3x)/(4x)); г) (x>0)lim(sin(x)/(2x)); е) (x>0)lim(x/(2sin(4x)). Вычислите:
а) (x>0)lim(tg(2x)/sin(2x)); б) (x>?/2)lim(cos(x)/ctg(x)).

Используем замечательные пределы:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x}=1.$$

Тогда:

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin 2x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{\sin 2x}=\frac12\cdot 1=\frac12.$$
2. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{4x}=\lim_{x\to 0}\frac34\cdot\frac{\sin 3x}{3x}=\frac34\cdot 1=\frac34.$$
3. $$\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sin 7x}=\lim_{x\to 0}\frac37\cdot\frac{7x}{\sin 7x}=\frac37\cdot 1=\frac37.$$
4. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac12\cdot\frac{\sin x}{x}=\frac12\cdot 1=\frac12.$$
5. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac52\cdot\frac{\sin 5x}{5x}=\frac52\cdot 1=\frac52.$$
6. $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{2\sin 4x}=\lim_{x\to 0}\frac18\cdot\frac{4x}{\sin 4x}=\frac18\cdot 1=\frac18.$$
7. $$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 2x}{\sin 2x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos 2x}=\frac{1}{\cos 0}=1.$$
8. $$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\ctg x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

Ответ

$$\frac12;\ \frac34;\ \frac37;\ \frac12;\ \frac52;\ \frac18;\ 1;\ 1.$$