Упр.4.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:
а) $$\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{2x-8}$$;
б) $$\lim_{x\to-8}\frac{\sqrt[3]{x}+2}{x^2-64}$$;
в) $$\lim_{x\to9}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x-5}-2}$$;
г) $$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x-1}-1}$$;
д) $$\lim_{x\to4}\frac{x^3-64}{\sqrt[3]{x-5}+1}$$;
е) $$\lim_{x\to16}\frac{\sqrt[3]{4x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}$$.
Вычислите:
а) $$\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(2x)}$$;
б) $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{4x}$$;
в) $$\lim_{x\to0}\frac{3x}{\sin(7x)}$$;
г) $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}$$;
д) $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{2x}$$;
е) $$\lim_{x\to0}\frac{x}{2\sin(4x)}$$.

Подробный ответ

$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{2x-8}$$
Разложим знаменатель на множители:
$$2x-8=2(x-4)=2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).$$
Тогда
$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x\to 4}\frac{1}{2(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{2(2+2)} = \frac18.$$
$$\lim_{x\to -8}\frac{\sqrt[3]{x}+2}{x^2-64}$$
Разложим знаменатель:
$$x^2-64=(x-8)(x+8).$$
Используем формулу суммы кубов:
$$x+8=(\sqrt[3]{x}+2)\left(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4\right).$$
Тогда
$$\lim_{x\to -8}\frac{\sqrt[3]{x}+2}{(x-8)(\sqrt[3]{x}+2)\left(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4\right)} = \lim_{x\to -8}\frac{1}{(x-8)\left(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4\right)}.$$
Подставляем $$x=-8$$:
$$\frac{1}{(-8-8)(4-2\cdot(-2)+4)}=\frac{1}{(-16)\cdot 12}=-\frac{1}{192}.$$
$$\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x-5}-2}$$
Рационализуем числитель и знаменатель:
$$\sqrt[4]{x}-\sqrt{3} = \frac{x-9}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})},$$
$$\sqrt{x-5}-2 = \frac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}.$$
Тогда
$$\lim_{x\to 9} \frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x-5}-2} = \lim_{x\to 9} \frac{\sqrt{x-5}+2}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}.$$
Подставляем $$x=9$$:
$$\frac{\sqrt{4}+2}{(\sqrt[4]{9}+\sqrt{3})(\sqrt{9}+\sqrt{3})} = \frac{2+2}{(\sqrt{3}+\sqrt{3})(3+3)} = \frac{4}{2\sqrt{3}\cdot 6} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}.$$
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x-1}-1}$$
Разложим числитель и рационализуем знаменатель:
$$x^2-4=(x-2)(x+2),$$
$$\sqrt{x-1}-1 = \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}.$$
Тогда
$$\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)/(\sqrt{x-1}+1)} = \lim_{x\to 2}(x+2)(\sqrt{x-1}+1).$$
Подставляем $$x=2$$:
$$4\cdot(1+1)=8.$$
$$\lim_{x\to 4}\frac{x^3-64}{\sqrt[3]{x-5}+1}$$
Разложим числитель:
$$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).$$
Положим $$t=\sqrt[3]{x-5}$$. Тогда при $$x\to 4$$ имеем $$t\to -1$$, а $$x=t^3+5$$. После преобразования:
$$x-4=t^3+1=(t+1)(t^2-t+1).$$
Следовательно,
$$\lim_{x\to 4}\frac{x^3-64}{\sqrt[3]{x-5}+1} = \lim_{t\to -1}(t^2-t+1)(x^2+4x+16).$$
Подставляем $$x=4$$ и $$t=-1$$:
$$(1+1+1)(16+16+16)=3\cdot 48=144.$$
$$\lim_{x\to 16}\frac{\sqrt[3]{4x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}$$
Положим $$x=16u^{12}$$, тогда $$u\to 1$$. Получаем:
$$\frac{\sqrt[3]{4x}-4}{\sqrt[4]{x}-2} = \frac{\sqrt[3]{64u^{12}}-4}{\sqrt[4]{16u^{12}}-2} = \frac{4u^4-4}{2u^3-2}.$$
Вынесем множители:
$$\frac{4(u-1)(u^3+u^2+u+1)}{2(u-1)(u^2+u+1)} = 2\cdot \frac{u^3+u^2+u+1}{u^2+u+1}.$$
Подставляем $$u=1$$:
$$2\cdot \frac{1+1+1+1}{1+1+1} = 2\cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin 2x}$$
Используем стандартный предел $$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$$:
$$\frac{x}{\sin 2x} = \frac12\cdot \frac{2x}{\sin 2x} \to \frac12\cdot 1 = \frac12.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{4x}$$
$$\frac{\sin 3x}{4x} = \frac34\cdot \frac{\sin 3x}{3x} \to \frac34\cdot 1 = \frac34.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sin 7x}$$
$$\frac{3x}{\sin 7x} = \frac37\cdot \frac{7x}{\sin 7x} \to \frac37\cdot 1 = \frac37.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}$$
$$\frac{\sin x}{2x} = \frac12\cdot \frac{\sin x}{x} \to \frac12\cdot 1 = \frac12.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{2x}$$
$$\frac{\sin 5x}{2x} = \frac52\cdot \frac{\sin 5x}{5x} \to \frac52\cdot 1 = \frac52.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{2\sin 4x}$$
$$\frac{x}{2\sin 4x} = \frac18\cdot \frac{4x}{\sin 4x} \to \frac18\cdot 1 = \frac18.$$