Упр.4.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) lim (x>4) (vx — 2) / (2x — 8); г) lim (x>2) (x^2 — 4) / (v(x — 1) — 1);
б) lim (x>-8) (x^(1/3) + 2) / (x^2 — 64); д) lim (x>4) (x^3 — 64) / ((x-5)^(1/3) + 1);
в) lim (x>9) (x^(1/4) — v3) / (v(x — 5) — 2); е) lim (x>16) ((4x)^(1/3) — 4) / (x^(1/4) — 2). Вычислите:
а) (x>0)lim(x/sin(2x)); в) (x>0)lim(3x/sin(7x)); д) (x>0)lim(sin(5x)/(2x));
б) (x>0)lim(sin(3x)/(4x)); г) (x>0)lim(sin(x)/(2x)); е) (x>0)lim(x/(2sin(4x)).

Подробный ответ

$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{2x-8}$$
Разложим знаменатель на множители:
$$2x-8=2(x-4)=2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).$$
Тогда
$$ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x\to 4}\frac{1}{2(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{2(2+2)} = \frac18. $$
$$\lim_{x\to -8}\frac{\sqrt[3]{x}+2}{x^2-64}$$
Разложим знаменатель:
$$x^2-64=(x-8)(x+8).$$
Используем формулу суммы кубов:
$$x+8=(\sqrt[3]{x}+2)\left(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4\right).$$
Тогда
$$ \lim_{x\to -8}\frac{\sqrt[3]{x}+2}{(x-8)(\sqrt[3]{x}+2)\left(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4\right)} = \lim_{x\to -8}\frac{1}{(x-8)\left(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4\right)}. $$
Подставляем $$x=-8$$:
$$ \frac{1}{(-8-8)(4-2\cdot(-2)+4)}=\frac{1}{(-16)\cdot 12}=-\frac{1}{192}. $$
$$\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x-5}-2}$$
Рационализуем числитель и знаменатель:
$$ \sqrt[4]{x}-\sqrt{3} = \frac{x-9}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}, $$
$$ \sqrt{x-5}-2 = \frac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}. $$
Тогда
$$ \lim_{x\to 9} \frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x-5}-2} = \lim_{x\to 9} \frac{\sqrt{x-5}+2}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}. $$
Подставляем $$x=9$$:
$$ \frac{\sqrt{4}+2}{(\sqrt[4]{9}+\sqrt{3})(\sqrt{9}+\sqrt{3})} = \frac{2+2}{(\sqrt{3}+\sqrt{3})(3+3)} = \frac{4}{2\sqrt{3}\cdot 6} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}. $$
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x-1}-1}$$
Разложим числитель и рационализуем знаменатель:
$$x^2-4=(x-2)(x+2),$$
$$ \sqrt{x-1}-1 = \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}. $$
Тогда
$$ \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)/(\sqrt{x-1}+1)} = \lim_{x\to 2}(x+2)(\sqrt{x-1}+1). $$
Подставляем $$x=2$$:
$$4\cdot(1+1)=8.$$
$$\lim_{x\to 4}\frac{x^3-64}{\sqrt[3]{x-5}+1}$$
Разложим числитель:
$$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).$$
Положим $$t=\sqrt[3]{x-5}$$. Тогда при $$x\to 4$$ имеем $$t\to -1$$, а $$x=t^3+5$$. После преобразования:
$$ x-4=t^3+1=(t+1)(t^2-t+1). $$
Следовательно,
$$ \lim_{x\to 4}\frac{x^3-64}{\sqrt[3]{x-5}+1} = \lim_{t\to -1}(t^2-t+1)(x^2+4x+16). $$
Подставляем $$x=4$$ и $$t=-1$$:
$$ (1+1+1)(16+16+16)=3\cdot 48=144. $$
$$\lim_{x\to 16}\frac{\sqrt[3]{4x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}$$
Положим $$x=16u^{12}$$, тогда $$u\to 1$$. Получаем:
$$ \frac{\sqrt[3]{4x}-4}{\sqrt[4]{x}-2} = \frac{\sqrt[3]{64u^{12}}-4}{\sqrt[4]{16u^{12}}-2} = \frac{4u^4-4}{2u^3-2}. $$
Вынесем множители:
$$ \frac{4(u-1)(u^3+u^2+u+1)}{2(u-1)(u^2+u+1)} = 2\cdot \frac{u^3+u^2+u+1}{u^2+u+1}. $$
Подставляем $$u=1$$:
$$ 2\cdot \frac{1+1+1+1}{1+1+1} = 2\cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}. $$
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin 2x}$$
Используем стандартный предел $$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$$:
$$ \frac{x}{\sin 2x} = \frac12\cdot \frac{2x}{\sin 2x} \to \frac12\cdot 1 = \frac12. $$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{4x}$$
$$ \frac{\sin 3x}{4x} = \frac34\cdot \frac{\sin 3x}{3x} \to \frac34\cdot 1 = \frac34. $$
$$\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sin 7x}$$
$$ \frac{3x}{\sin 7x} = \frac37\cdot \frac{7x}{\sin 7x} \to \frac37\cdot 1 = \frac37. $$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}$$
$$ \frac{\sin x}{2x} = \frac12\cdot \frac{\sin x}{x} \to \frac12\cdot 1 = \frac12. $$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{2x}$$
$$ \frac{\sin 5x}{2x} = \frac52\cdot \frac{\sin 5x}{5x} \to \frac52\cdot 1 = \frac52. $$
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{2\sin 4x}$$
$$ \frac{x}{2\sin 4x} = \frac18\cdot \frac{4x}{\sin 4x} \to \frac18\cdot 1 = \frac18. $$