Упр.4.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) lim (x>0) ((1 + x)^3 — 1) / x; г) lim (x>0) ((1 + x)^4 — 1) / x;
б) lim (x>0) ((1 — 3x)^3 — 1) / x; д) lim (x>0) ((1 — x)^5 — 1) / 10x;
в) lim (x>3) (8 — (2 — x)^3) / (x — 3); е) lim (x>0) ((1 + 4x)^5 — (1 + 5x)^4) / (x^2 — x^3). Вычислите:
а) (x>4)lim((vx-2)/(2x-8)); б) (x>2)lim((x^2-4)/(v(x-1)-1)).

Подробный ответ

Используем разложение по формуле бинома Ньютона и выделение главных членов при $x \to 0$.

$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^3-1}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{1+3x+o(x)-1}{x} =\lim_{x\to 0}\left(3+\frac{o(x)}{x}\right)=3.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{(1-3x)^3-1}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{1-9x+o(x)-1}{x} =\lim_{x\to 0}\left(-9+\frac{o(x)}{x}\right)=-9.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{8-(2-x)^3}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{8-(8-12x+o(x))}{x} =\lim_{x\to 0}\left(12-\frac{o(x)}{x}\right)=12.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^4-1}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{1+4x+o(x)-1}{x} =\lim_{x\to 0}\left(4+\frac{o(x)}{x}\right)=4.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{(1-x)^5-1}{10x} =\lim_{x\to 0}\frac{1-5x+o(x)-1}{10x} =\lim_{x\to 0}\left(-\frac12+\frac{o(x)}{10x}\right)=-\frac12.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+4x)^5-(1+5x)^4}{x^2-x^3}.$$
Разложим числитель:
$$ (1+4x)^5=1+20x+160x^2+o(x^2), $$
$$ (1+5x)^4=1+20x+150x^2+o(x^2). $$
Тогда
$$ (1+4x)^5-(1+5x)^4=10x^2+o(x^2), $$
а знаменатель
$$ x^2-x^3=x^2(1-x). $$
Следовательно,
$$\lim_{x\to 0}\frac{10x^2+o(x^2)}{x^2(1-x)}=\lim_{x\to 0}\frac{10+o(1)}{1-x}=10.$$
$$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{2x-8} =\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{2(x-4)} =\lim_{x\to 4}\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}$$
$$=\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{2(x-4)(\sqrt{x}+2)} =\lim_{x\to 4}\frac{1}{2(\sqrt{x}+2)} =\frac{1}{2(2+2)}=\frac18.$$
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x-1}-1} =\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x-1}-1}.$$
Умножим на сопряжённое:
$$\frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{x-1}+1)}{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}+1)} =\frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{x-1}+1)}{x-2}.$$
Тогда
$$\lim_{x\to 2}(x+2)(\sqrt{x-1}+1)=(2+2)(\sqrt{1}+1)=4\cdot 2=8.$$