Упр.4.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\lim_{x\to 2}\left(3^x-2\cos\frac{\pi x}{2}\right);$$
   б) $$\lim_{x\to 4}\log_3(5x+7);$$
   в) $$\lim_{x\to -2}\frac{\lg(4-3x)+\ln(2x+9)}{2^x-x};$$
   г) $$\lim_{x\to 3}\left(2^x+5\sin\frac{\pi x}{18}\right);$$
   д) $$\lim_{x\to 8}\frac{\log_4(2x)}{x-\log_{\sqrt{3}}(x-5)};$$
   е) $$\lim_{x\to -3}\left(\lg(6x+118)+\ln(2x+7)\right).$$

1. а) Подставим $$x=2$$:

   $$\lim_{x\to 2}\left(3^x-2\cos\frac{\pi x}{2}\right)=3^2-2\cos\pi=9-2(-1)=11.$$

2. б) Подставим $$x=4$$:

   $$\lim_{x\to 4}\log_3(5x+7)=\log_3(5\cdot 4+7)=\log_3 27=3.$$

3. в) Подставим $$x=-2$$:

   $$\lim_{x\to -2}\frac{\lg(4-3x)+\ln(2x+9)}{2^x-x}=\frac{\lg(4-3(-2))+\ln(2(-2)+9)}{2^{-2}-(-2)}$$

   $$=\frac{\lg 10+\ln 5}{\frac14+2}=\frac{1+\ln 5}{\frac94}=\frac{4(1+\ln 5)}{9}.$$

4. г) Подставим $$x=3$$:

   $$\lim_{x\to 3}\left(2^x+5\sin\frac{\pi x}{18}\right)=2^3+5\sin\frac{\pi}{6}=8+\frac52=10{,}5.$$

5. д) Подставим $$x=8$$:

   $$\lim_{x\to 8}\frac{\log_4 2x}{x-\log_{\sqrt3}(x-5)}=\frac{\log_4 16}{8-\log_{\sqrt3}3}=\frac{2}{8-2}=\frac13.$$

6. е) Подставим $$x=-3$$:

   $$\lim_{x\to -3}\left(\lg(6x+118)+\ln(2x+7)\right)=\lg 100+\ln 1=2+0=2.$$

Ответ

а) $$11$$; б) $$3$$; в) $$\frac{4(1+\ln 5)}{9}$$; г) $$10{,}5$$; д) $$\frac13$$; е) $$2$$.