Упр.39.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Могла ли половина вкладов быть по 1 млн р.?
б) Могло ли быть 7 вкладов по 1 млн р.?
в) Докажите, что имелось не более 6 вкладов по 1 млн р.
г) Вклады (в млн р.) были следующие: 1, 14, 15, 30, …, 30; уменьшались первые три вклада (в 1, 14 и 15 млн. р.). Найдите среднее новых вкладов.
д) Вклады (в млн р.) были следующие: 6{1, …, 1}, 14, 13{40, …, 40}, уменьшались первые шесть вкладов (в млн р.). Найдите среднее новых вкладов.
е) Докажите, что ответ в «д» — наибольший из всех возможных значений нового среднего.

Подробный ответ

Обозначим вклады через $$a_1,a_2,\dots,a_{20}.$$ Тогда

$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_{20}}{20}=27,$$

причём

$$1\le a_i\le 40,$$

и все $$a_i$$ — целые числа.

а) Пусть половина вкладов равна $$1$$ млн р., то есть таких вкладов $$10$$. Тогда остальные $$10$$ вкладов не превосходят $$40$$ млн р., значит среднее не может быть больше
$$\frac{10\cdot 1+10\cdot 40}{20}=\frac{410}{20}=20{,}5.$$
Но по условию среднее равно $$27$$. Противоречие.
Следовательно, половина вкладов по $$1$$ млн р. быть не могла.
б) Если вкладов по $$1$$ млн р. было $$7$$, то остальные $$13$$ вкладов не превосходят $$40$$ млн р. Тогда
$$\frac{7\cdot 1+13\cdot 40}{20}=\frac{527}{20}=26{,}35.$$
Это меньше $$27$$, значит такое тоже невозможно.
в) Докажем, что вкладов по $$1$$ млн р. не более $$6$$.
Пусть таких вкладов $$k$$. Тогда остальные $$20-k$$ вкладов не превосходят $$40$$, поэтому
$$\frac{k+(20-k)\cdot 40}{20}\ge 27.$$
Отсюда
$$k+800-40k\ge 540,$$
$$39k\le 260,$$
$$k\le 6\frac{2}{3}.$$
Так как $$k$$ — целое число, получаем $$k\le 6$$.
г) Даны вклады:
$$1,\ 14,\ 15,\ 30,\dots,30.$$
Уменьшили первые три вклада на $$1$$ млн р., значит получаем:
$$0,\ 13,\ 14,\ 30,\dots,30.$$
Тогда новое среднее равно
$$\frac{0+13+14+17\cdot 30}{20-1}=\frac{537}{19}=28\frac{5}{19}.$$
д) Даны вклады:
$$6\{1,\dots,1\},\ 14,\ 13\{40,\dots,40\}.$$
Уменьшили первые шесть вкладов на $$1$$ млн р., значит они стали равны $$0$$. Тогда новое среднее:
$$\frac{6\cdot 0+14+13\cdot 40}{20-6}=\frac{534}{14}=38\frac{1}{7}.$$
е) Чтобы новое среднее было наибольшим, нужно:
- уменьшить как можно больше вкладов по $$1$$ млн р.;
- остальные вклады сделать как можно большими, то есть по $$40$$ млн р.
По пункту в) вкладов по $$1$$ млн р. не более $$6$$. Значит, максимальное новое среднее достигается при $$6$$ вкладах по $$1$$ и остальных $$14$$ вкладах по $$40$$, что и даёт значение из пункта д):
$$38\frac{1}{7}.$$