Упр.39.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) Вычислите среднее отметок 7{5, …, 5}, 1, 1, 1.
б) Приведите пример того же среднего 3,8 для отметок без единиц.
в) Приведите пример того же среднего 3,8 для отметок без пятёрок.
г) Докажите, что наибольшая возможная частота пятёрок равна 0,7.
д) Докажите, что среднее значение новых отметок есть дробнолинейная функция от частоты пятёрок в первоначальном наборе отметок.
е) Найдите наибольшее возможное значение среднего новых отметок.
а) Для отметок $$5,5,5,5,5,5,5,1,1,1$$ среднее арифметическое равно
$$ \overline{x}=\frac{7\cdot 5+3\cdot 1}{7+3}=\frac{35+3}{10}=3{,}8. $$
Ответ: $$3{,}8$$.
б) Пусть без единиц есть $$a$$ пятёрок, $$b$$ четвёрок, $$c$$ троек и $$d$$ двоек. Тогда
$$ \frac{5a+4b+3c+2d}{a+b+c+d}=3{,}8=\frac{19}{5}. $$
Отсюда
$$ 5(5a+4b+3c+2d)=19(a+b+c+d), $$
$$ 25a+20b+15c+10d=19a+19b+19c+19d, $$
$$ 6a+b-4c-9d=0. $$
Подойдёт, например, набор $$5,5,4,4,4,4,3,3,3,3$$: его среднее равно
$$ \frac{5+5+4+4+4+4+3+3+3+3}{10}=\frac{38}{10}=3{,}8. $$
Ответ: $$5,5,4,4,4,4,3,3,3,3$$.
в) Пусть без пятёрок есть $$b$$ четвёрок, $$c$$ троек, $$d$$ двоек и $$e$$ единиц. Тогда
$$ \frac{4b+3c+2d+e}{b+c+d+e}=3{,}8=\frac{19}{5}. $$
Отсюда
$$ 5(4b+3c+2d+e)=19(b+c+d+e), $$
$$ 20b+15c+10d+5e=19b+19c+19d+19e, $$
$$ b-4c-9d-14e=0. $$
Подойдёт, например, набор $$4,4,4,4,4,4,4,4,3,3$$: его среднее равно
$$ \frac{8\cdot 4+2\cdot 3}{10}=\frac{38}{10}=3{,}8. $$
Ответ: $$4,4,4,4,4,4,4,4,3,3$$.
г) Пусть в первоначальном наборе всего $$n$$ отметок, из них пятёрок $$k$$. Тогда сумма всех отметок не меньше суммы, если все остальные оценки заменить на единицы:
$$ S\ge 5k+(n-k)=4k+n. $$
Так как среднее равно $$3{,}8$$, то
$$ S=3{,}8n. $$
Следовательно,
$$ 3{,}8n\ge 4k+n, $$
$$ 2{,}8n\ge 4k, $$
$$ k\le 0{,}7n. $$
Значит, наибольшая возможная частота пятёрок равна $$0{,}7$$.
д) После «удвоения» каждой пятёрки число отметок станет $$n+k$$, а сумма увеличится на $$5k$$. Поэтому новое среднее равно
$$ f=\frac{3{,}8n+5k}{n+k}. $$
Обозначим частоту пятёрок в первоначальном наборе через
$$ v_5=\frac{k}{n}. $$
Тогда
$$ f=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5}. $$
Это дробно-линейная функция от $$v_5$$.
е) По пункту г) имеем $$0\le v_5\le 0{,}7$$. Функция
$$ f(v_5)=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5} $$
возрастает, так как
$$ f'(v_5)=\frac{5(1+v_5)-(3{,}8+5v_5)}{(1+v_5)^2}=\frac{1{,}2}{(1+v_5)^2}>0. $$
Значит, наибольшее значение достигается при $$v_5=0{,}7$$:
$$ f_{\max}=\frac{3{,}8+5\cdot 0{,}7}{1+0{,}7} =\frac{3{,}8+3{,}5}{1{,}7} =\frac{7{,}3}{1{,}7} =\frac{73}{17} =4\frac{5}{17}. $$
Ответ
а) $$3{,}8$$; б) $$5,5,4,4,4,4,3,3,3,3$$; в) $$4,4,4,4,4,4,4,4,3,3$$; г) $$0{,}7$$; д) $$f(v_5)=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5}$$; е) $$4\frac{5}{17}$$.
