Упр.39.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Среднее всех отметок ученика по физкультуре равно $$3{,}8$$. Ученик решил улучшить это среднее. Для этого он планирует в электронном журнале «удвоить» пятёрки: к каждой уже имеющейся пятёрке дописать ещё одну пятёрку.
а) Вычислите среднее отметок $$7\{5,\ldots,5\}, 1, 1, 1$$.
б) Приведите пример того же среднего $$3{,}8$$ для отметок без единиц.
в) Приведите пример того же среднего $$3{,}8$$ для отметок без пятёрок.
г) Докажите, что наибольшая возможная частота пятёрок равна $$0{,}7$$.
д) Докажите, что среднее значение новых отметок есть дробнолинейная функция от частоты пятёрок в первоначальном наборе отметок.
е) Найдите наибольшее возможное значение среднего новых отметок.
а) Для отметок $$5,5,5,5,5,5,5,1,1,1$$ среднее арифметическое равно
$$\overline{x}=\frac{7\cdot 5+3\cdot 1}{7+3}=\frac{35+3}{10}=3{,}8.$$
Ответ: $$3{,}8$$.
б) Пусть без единиц есть $$a$$ пятёрок, $$b$$ четвёрок, $$c$$ троек и $$d$$ двоек. Тогда
$$\frac{5a+4b+3c+2d}{a+b+c+d}=3{,}8=\frac{19}{5}.$$
Отсюда
$$5(5a+4b+3c+2d)=19(a+b+c+d),$$
$$25a+20b+15c+10d=19a+19b+19c+19d,$$
$$6a+b-4c-9d=0.$$
Подойдёт, например, набор $$5,5,4,4,4,4,3,3,3,3$$: его среднее равно
$$\frac{5+5+4+4+4+4+3+3+3+3}{10}=\frac{38}{10}=3{,}8.$$
Ответ: $$5,5,4,4,4,4,3,3,3,3$$.
в) Пусть без пятёрок есть $$b$$ четвёрок, $$c$$ троек, $$d$$ двоек и $$e$$ единиц. Тогда
$$\frac{4b+3c+2d+e}{b+c+d+e}=3{,}8=\frac{19}{5}.$$
Отсюда
$$5(4b+3c+2d+e)=19(b+c+d+e),$$
$$20b+15c+10d+5e=19b+19c+19d+19e,$$
$$b-4c-9d-14e=0.$$
Подойдёт, например, набор $$4,4,4,4,4,4,4,4,3,3$$: его среднее равно
$$\frac{8\cdot 4+2\cdot 3}{10}=\frac{38}{10}=3{,}8.$$
Ответ: $$4,4,4,4,4,4,4,4,3,3$$.
г) Пусть в первоначальном наборе всего $$n$$ отметок, из них пятёрок $$k$$. Тогда сумма всех отметок не меньше суммы, если все остальные оценки заменить на единицы:
$$S\ge 5k+(n-k)=4k+n.$$
Так как среднее равно $$3{,}8$$, то
$$S=3{,}8n.$$
Следовательно,
$$3{,}8n\ge 4k+n,$$
$$2{,}8n\ge 4k,$$
$$k\le 0{,}7n.$$
Значит, наибольшая возможная частота пятёрок равна $$0{,}7$$.
д) После «удвоения» каждой пятёрки число отметок станет $$n+k$$, а сумма увеличится на $$5k$$. Поэтому новое среднее равно
$$f=\frac{3{,}8n+5k}{n+k}.$$
Обозначим частоту пятёрок в первоначальном наборе через
$$v_5=\frac{k}{n}.$$
Тогда
$$f=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5}.$$
Это дробно-линейная функция от $$v_5$$.
е) По пункту г) имеем $$0\le v_5\le 0{,}7$$. Функция
$$f(v_5)=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5}$$
возрастает, так как
$$f'(v_5)=\frac{5(1+v_5)-(3{,}8+5v_5)}{(1+v_5)^2}=\frac{1{,}2}{(1+v_5)^2}>0.$$
Значит, наибольшее значение достигается при $$v_5=0{,}7$$:
$$f_{\max}=\frac{3{,}8+5\cdot 0{,}7}{1+0{,}7} =\frac{3{,}8+3{,}5}{1{,}7} =\frac{7{,}3}{1{,}7} =\frac{73}{17} =4\frac{5}{17}.$$
Ответ
а) $$3{,}8$$; б) $$5,5,4,4,4,4,3,3,3,3$$; в) $$4,4,4,4,4,4,4,4,3,3$$; г) $$0{,}7$$; д) $$f(v_5)=\frac{3{,}8+5v_5}{1+v_5}$$; е) $$4\frac{5}{17}$$.
