Упр.39.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Компании № 1, № 2, …, № 20 имеют по несколько счетов в банке В, в среднем по $$a$$ счетов. Банк решил увеличить это среднее, предложив открыть дополнительно компании № 1 один счёт, компании № 2 — два счёта, компании № 3 — три счёта и т. д. В каком наименьшем числе компаний следует таким образом открыть счета для того, чтобы среднее числа счетов стало не меньше $$b$$, если:
а) $$a=2$$, $$b=3$$;
б) $$a=3$$, $$b=5$$;
в) $$a=10$$, $$b=15$$;
г) $$a=10$$, $$b=20$$;
д) $$a=2$$, $$b>2$$;
е) $$b>a>0$$?
Пусть дополнительно открыли счета в первых $$n$$ компаниях. Тогда число добавленных счетов равно
$$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
Первоначально в среднем было $$a$$ счетов, значит всего счетов было
$$20a.$$
После добавления среднее станет не меньше $$b$$, если
$$\frac{20a+\frac{n(n+1)}{2}}{20}\ge b.$$
Отсюда
$$a+\frac{n(n+1)}{40}\ge b,$$
то есть
$$n(n+1)\ge 40(b-a).$$
Теперь рассмотрим каждый случай.
$$a=2,\ b=3.$$
$$n(n+1)\ge 40.$$
Проверяем ближайшие целые значения: $$6\cdot 7=42\ge 40,$$ а $$5\cdot 6=30<40.$$
Значит, $$n=6.$$
$$a=3,\ b=5.$$
$$n(n+1)\ge 80.$$
$$8\cdot 9=72<80,\quad 9\cdot 10=90\ge 80.$$
Значит, $$n=9.$$
$$a=10,\ b=15.$$
$$n(n+1)\ge 200.$$
$$13\cdot 14=182<200,\quad 14\cdot 15=210\ge 200.$$
Значит, $$n=14.$$
$$a=10,\ b=20.$$
$$n(n+1)\ge 400.$$
$$19\cdot 20=380<400,\quad 20\cdot 21=420\ge 400.$$
Значит, $$n=20.$$
$$a=2,\ b>2.$$
Нужно наименьшее целое $$n$$, удовлетворяющее неравенству
$$n(n+1)\ge 40(b-2).$$
$$b>a>0.$$
Нужно наименьшее целое $$n$$, удовлетворяющее неравенству
$$n(n+1)\ge 40(b-a).$$
Ответ
а) $$6$$; б) $$9$$; в) $$14$$; г) $$20$$; д) наименьшее целое решение неравенства $$n(n+1)\ge 40(b-2)$$; е) наименьшее целое решение неравенства $$n(n+1)\ge 40(b-a)$$.
