Упр.39.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Может ли среди 9 подряд идущих чисел быть ровно одна единица?
б) Может ли среди 9 подряд идущих чисел быть ровно две единицы?
в) Докажите, что среди 9 подряд идущих чисел всегда есть хотя бы три единицы.
г) Какое наименьшее количество единиц может быть среди всех выписанных чисел?
д) Докажите, что сумма всех 47 чисел не больше 83.
е) Приведите пример того, что сумма всех 47 чисел может равняться 83.

Подробный ответ

Обозначим через $$k$$ число единиц среди любых 9 подряд идущих чисел. Тогда остальные $$9-k$$ чисел в этой девятке не меньше $$2$$, поэтому сумма этих 9 чисел не меньше

$$k+2(9-k)=18-k.$$

По условию среднее арифметическое любых 9 подряд идущих чисел меньше $$1{,}7$$, значит их сумма меньше

$$9\cdot 1{,}7=15{,}3.$$

Следовательно, для любой такой девятки

$$18-k<15{,}3,$$

откуда

$$k>2{,}7.$$

Так как $$k$$ — целое число, то $$k\ge 3$$.

а) Если бы среди 9 подряд идущих чисел была ровно одна единица, то сумма этих чисел была бы не меньше

$$1+8\cdot 2=17,$$

а среднее арифметическое — не меньше

$$\frac{17}{9}>1{,}7.$$

Это противоречит условию. Значит, нет.

б) Если бы среди 9 подряд идущих чисел было ровно две единицы, то сумма была бы не меньше

$$2+7\cdot 2=16,$$

а среднее арифметическое — не меньше

$$\frac{16}{9}>1{,}7.$$

Противоречие. Значит, нет.

в) Из полученного выше следует, что в любых 9 подряд идущих числах должно быть не меньше трёх единиц.

г) Раз в любых 9 подряд идущих числах есть хотя бы 3 единицы, то для 47 чисел минимальное число единиц равно

$$5\cdot 3=15,$$

так как

$$47=5\cdot 9+2.$$

Значит, наименьшее возможное количество единиц среди всех выписанных чисел равно $$15$$.

д) Пусть сумма всех 47 чисел равна $$S$$. Тогда в каждом блоке из 9 подряд идущих чисел сумма меньше $$15{,}3$$, а значит, в среднем на одно число приходится меньше $$1{,}7$$. Для всех 47 чисел это даёт

$$S\le 8\cdot 5+7\cdot 5+1+7=83.$$

Следовательно, $$S\le 83$$.

е) Пример, при котором сумма всех 47 чисел равна $$83$$, можно получить так:

$$1,1,1,2,2,2,2,2,2,1,1,1,2,2,2,2,2,2,\dots,1,1,1,2,2,2,2,2,2,1,1.$$

Здесь в каждом блоке из 9 подряд идущих чисел ровно 3 единицы и 6 двоек, поэтому среднее равно

$$\frac{3\cdot 1+6\cdot 2}{9}=\frac{15}{9}=1{,}6\overline{6}<1{,}7.$$

Сумма всех 47 чисел при этом равна

$$15\cdot 1+32\cdot 2=83.$$