Упр.38.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (a-3)x^2+2x-5=0;
б) (a-3)x^2-2(a+1)x+a+2=0.

а) Рассмотрим уравнение $$ (a-3)x^2+2x-5=0. $$

Если $$a\ne 3,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D=2^2-4(a-3)(-5)=4+20a-60=20a-56=4(5a-14). $$

Тогда

$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{4(5a-14)}}{2(a-3)}=\frac{-1\pm\sqrt{5a-14}}{a-3}. $$

Чтобы корни были действительными, нужно

$$ 5a-14\ge 0,\quad a\ge \frac{14}{5}. $$

Если $$a=3,$$ то уравнение становится линейным:

$$ 2x-5=0,\qquad x=\frac52. $$

Если $$a<\frac{14}{5},$$ то действительных корней нет.

б) Рассмотрим уравнение $$ (a-3)x^2-2(a+1)x+a+2=0. $$

Если $$a\ne 3,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D=[-2(a+1)]^2-4(a-3)(a+2) $$

$$ D=4(a+1)^2-4(a-3)(a+2) $$

$$ D=4a^2+8a+4-4a^2-4a+12a+24=24a+28=4(6a+7). $$

Тогда

$$ x=\frac{2(a+1)\pm\sqrt{4(6a+7)}}{2(a-3)}=\frac{a+1\pm\sqrt{6a+7}}{a-3}. $$

Для существования действительных корней нужно

$$ 6a+7\ge 0,\quad a\ge -\frac76. $$

Если $$a=3,$$ то получаем линейное уравнение:

$$ -8x+5=0,\qquad x=\frac58. $$

Если $$a<-\frac76,$$ то действительных корней нет.

Ответ

а) если $$a=3,$$ то $$x=\frac52;$$ если $$a<\frac{14}{5},$$ то корней нет; если $$a\ge \frac{14}{5}$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5a-14}}{a-3}.$$

б) если $$a=3,$$ то $$x=\frac58;$$ если $$a<-\frac76,$$ то корней нет; если $$a\ge -\frac76$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=\frac{a+1\pm\sqrt{6a+7}}{a-3}.$$