Упр.38.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) является линейным относительно х;
б) имеет ровно один корень;
в) имеет два различных корня;
г) не имеет корней.

Рассмотрим уравнение

$$ (a+1)x^2-2(a+3)x+2a+3=0. $$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$, если $$a+1\ne 0$$, то есть $$a\ne -1$$.

Для квадратного уравнения найдём дискриминант:

$$ D=[-2(a+3)]^2-4(a+1)(2a+3) $$

$$ D=4(a+3)^2-4(a+1)(2a+3) $$

$$ D=4(a^2+6a+9)-4(2a^2+5a+3) $$

$$ D=4a^2+24a+36-8a^2-20a-12 $$

$$ D=-4a^2+4a+24=-4(a^2-a-6)=-4(a+2)(a-3). $$

а) Уравнение является линейным относительно $$x$$

Это возможно, когда коэффициент при $$x^2$$ равен нулю:

$$a+1=0,$$

$$a=-1.$$

б) Уравнение имеет ровно один корень

Это бывает в двух случаях:

• уравнение линейное, то есть $$a=-1$$;
• уравнение квадратное и его дискриминант равен нулю:

$$D=0 \;\Rightarrow\; -4(a+2)(a-3)=0,$$

$$a=-2 \text{ или } a=3.$$

Итак, $$a=-2,\,-1,\,3.$$

в) Уравнение имеет два различных корня

Нужно, чтобы уравнение было квадратным и $$D>0$$:

$$ -4(a+2)(a-3)>0. $$

Так как число $$-4<0$$, получаем

$$ (a+2)(a-3)<0. $$

Отсюда

$$-2<a<3.$$

Но $$a\ne -1$$, так как при этом уравнение становится линейным. Значит,

$$(-2;-1)\cup(-1;3).$$

г) Уравнение не имеет корней

Нужно, чтобы уравнение было квадратным и $$D<0$$:

$$ -4(a+2)(a-3)<0. $$

Тогда

$$ (a+2)(a-3)>0, $$

откуда

$$a<-2 \text{ или } a>3.$$

При этих значениях $$a\ne -1$$ автоматически выполняется.

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-2,\,-1,\,3$$; в) $$(-2;-1)\cup(-1;3)$$; г) $$(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$$.