Упр.38.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) является линейным относительно х;
б) имеет ровно один корень;
в) имеет два различных корня;
г) не имеет корней.

Рассмотрим уравнение

$$ (a+1)x^2-4ax+2a+3=0. $$

Чтобы определить число корней, найдём дискриминант:

$$ D=(-4a)^2-4(a+1)(2a+3) =16a^2-4(2a^2+5a+3) =8a^2-20a-12. $$

Разложим на множители:

$$ D=4(2a^2-5a-3)=4(2a+1)(a-3). $$

а) Уравнение является линейным относительно $$x$$

Квадратный член должен исчезнуть, значит

$$a+1=0,$$

откуда

$$a=-1.$$

б) Уравнение имеет ровно один корень

Это возможно, если:

• либо уравнение линейное: $$a=-1$$;
• либо оно квадратное и $$D=0$$.

Из $$D=4(2a+1)(a-3)=0$$ получаем

$$a=-\frac12 \quad \text{или} \quad a=3.$$

Итак,

$$a=-1,\; -\frac12,\; 3.$$

в) Уравнение имеет два различных корня

Это возможно, когда уравнение квадратное и $$D>0$$:

$$4(2a+1)(a-3)>0,$$

то есть

$$a<-\frac12 \quad \text{или} \quad a>3.$$

Но при $$a=-1$$ уравнение становится линейным, поэтому это значение нужно исключить.

Следовательно,

$$a\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,-\frac12\right)\cup(3,+\infty).$$

г) Уравнение не имеет корней

Это возможно, когда уравнение квадратное и $$D<0$$:

$$4(2a+1)(a-3)<0,$$

откуда

$$-\frac12<a<3.$$

При этом $$a=-1$$ входит в этот промежуток, но при $$a=-1$$ уравнение линейное и корень имеет. Поэтому исключаем $$a=-1$$.

Итак,

$$a\in\left(-\frac12,3\right).$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-1,\; -\frac12,\; 3$$; в) $$(-\infty,-1)\cup\left(-1,-\frac12\right)\cup(3,+\infty)$$; г) $$\left(-\frac12,3\right).$$