Упр.38.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) имеет два различных корня;
б) имеет ровно один корень;
в) не имеет действительных корней;
г) имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим уравнение

$$ax^2+6x-a+10=0.$$

Если $$a=0,$$ то уравнение становится линейным:

$$6x+10=0,$$

и имеет один корень.

Если $$a\ne 0,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=6^2-4a(10-a)=36-40a+4a^2=4(a^2-10a+9)=4(a-1)(a-9).$$

Теперь рассмотрим случаи.

1. Уравнение имеет два различных корня, если $$D>0$$ и $$a\ne 0$$:

   $$4(a-1)(a-9)>0.$$

   Отсюда

   $$a<1 \quad \text{или} \quad a>9,$$

   но нужно исключить $$a=0.$$ Поэтому

   $$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(9;+\infty).$$

2. Уравнение имеет ровно один корень, если либо $$D=0,$$ либо $$a=0.$$

   Из условия $$D=0$$ получаем:

   $$4(a-1)(a-9)=0,$$

   откуда $$a=1$$ или $$a=9.$$

   Также при $$a=0$$ уравнение линейное и имеет один корень.

   Значит,

   $$a=0,1,9.$$

3. Уравнение не имеет действительных корней, если $$D<0$$:

   $$4(a-1)(a-9)<0.$$

   Тогда

   $$1<a<9.$$

4. Уравнение имеет хотя бы один корень, если $$D\ge 0$$ или $$a=0.$$

   Это даёт

   $$a\le 1 \quad \text{или} \quad a\ge 9.$$

   Следовательно,

   $$a\in(-\infty;1]\cup[9;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(9;+\infty)$$

б) $$0,\,1,\,9$$

в) $$ (1;9) $$

г) $$(-\infty;1]\cup[9;+\infty)$$