Упр.38.37 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений
$$\begin{cases} |x^2-7x+6|+x^2+5x+6-12|x|=0,\\ x^2-2(a-2)x+a(a-4)=0 \end{cases}$$
имеет два решения?

Подробный ответ

Рассмотрим первое уравнение системы:

$$|x^2-7x+6|+x^2+5x+6-12|x|=0.$$

Так как $$|x^2-7x+6|\ge 0,$$ $$x^2+5x+6-12|x|$$ удобно исследовать по промежуткам, заданным точками $$x=0,1,6.$$

1) Если $$x\le 0,$$ то $$|x|=-x,$$ $$x^2-7x+6\ge 0,$$ и получаем:

$$x^2-7x+6+x^2+5x+6+12x=0,$$

$$2x^2+10x+12=0,$$

$$x^2+5x+6=0,$$

$$x=-3,\,-2.$$

2) Если $$0\le x\le 1$$ или $$x\ge 6,$$ то $$|x^2-7x+6|=x^2-7x+6,$$ $$|x|=x,$$ и

$$x^2-7x+6+x^2+5x+6-12x=0,$$

$$2x^2-14x+12=0,$$

$$x^2-7x+6=0,$$

$$x=1,\;6.$$

3) Если $$1\le x\le 6,$$ то $$|x^2-7x+6|=-(x^2-7x+6),$$ $$|x|=x,$$ и

$$-x^2+7x-6+x^2+5x+6-12x=0,$$

$$0=0.$$

Значит, при любом $$x\in[1;6]$$ первое уравнение выполняется.

Итак, множество решений первого уравнения:

$$x\in\{-3,-2\}\cup[1;6].$$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

$$x^2-2(a-2)x+a(a-4)=0.$$

Его дискриминант:

$$D=4(a-2)^2-4a(a-4)=16.$$

Следовательно, корни равны:

$$x_1=a-4,\qquad x_2=a.$$

Система имеет два решения тогда и только тогда, когда оба корня второго уравнения принадлежат множеству решений первого уравнения и при этом не совпадают с одним и тем же значением из этого множества.

Проверим возможные значения:

если $$a-4=-3,$$ то $$a=1$$, и второй корень $$x=a=1$$ тоже подходит;
если $$a-4=-2,$$ то $$a=2$$, и второй корень $$x=2$$ тоже подходит;
если $$a-4\in[1;6]$$ и $$a\in[1;6],$$ то оба корня лежат в отрезке $$[1;6].$$

Из условий получаем:

$$1\le a-4\le 6,$$

то есть

$$5\le a\le 10.$$

Но при $$a=5,6,7,8,9,10$$ оба корня второго уравнения принадлежат отрезку $$[1;6]$$, а значит система имеет два решения. Вместе с отдельными случаями $$a=1$$ и $$a=2$$ получаем искомые значения параметра.