Упр.38.36 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: При каких значениях параметра a > 0 неравенство 2x^2 — a ln x < 0 имеет хотя бы одно решение?

Рассмотрим функцию

$$f(x)=2x^2-a\ln x, \qquad x>0.$$

Нужно, чтобы неравенство

$$2x^2-a\ln x<0$$

имело хотя бы одно решение, то есть чтобы функция $$f(x)$$ принимала отрицательные значения.

Найдём минимум функции:

$$f'(x)=4x-\frac{a}{x}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4x-\frac{a}{x}=0 \;\Rightarrow\; 4x^2=a \;\Rightarrow\; x=\frac{\sqrt a}{2}.$$

Это точка минимума, так как при $$x>0$$ функция сначала убывает, затем возрастает.

Вычислим значение функции в точке минимума:

$$f\!\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)=2\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)^2-a\ln\frac{\sqrt a}{2} =\frac a2-a\ln\frac{\sqrt a}{2}.$$

Чтобы неравенство имело решение, нужно

$$f\!\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)<0.$$

Тогда

$$\frac a2-a\ln\frac{\sqrt a}{2}<0.$$

Так как $$a>0$$, делим на $$a$$:

$$\frac12-\ln\frac{\sqrt a}{2}<0,$$

$$\ln\frac{\sqrt a}{2}>\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{\sqrt a}{2}>e^{1/2},$$

$$\sqrt a>2\sqrt e,$$

$$a>4e.$$

Ответ

$$a>4e.$$