Упр.38.35 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) v(4 — x^2) = x + a; б) ||x| — 2| = a?
а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{4-x^2}=x+a.$$
Пусть $$f(x)=\sqrt{4-x^2}-x.$$ Тогда нужно найти, при каких значениях $$a$$ уравнение $$f(x)=a$$ имеет сколько корней.
Область определения:
$$4-x^2\ge 0,\quad -2\le x\le 2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}-1=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}-1.$$
Критическая точка определяется из уравнения
$$-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}-1=0,$$
откуда
$$x+\sqrt{4-x^2}=0,$$
$$\sqrt{4-x^2}=-x,$$
$$4-x^2=x^2,\quad x\le 0,$$
$$2x^2=4,\quad x^2=2,\quad x=-\sqrt2.$$
Значения функции в характерных точках:
$$f(-2)=\sqrt{4-4}+2=2,$$
$$f(2)=\sqrt{4-4}-2=-2,$$
$$f(-\sqrt2)=\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$2\sqrt2,$$ наименьшее — $$-2.$$
Тогда:
- при $$a<-2$$ и $$a>2\sqrt2$$ корней нет;
- при $$a=-2$$ и $$a=2\sqrt2$$ один корень;
- при $$-2<a<2$$ и $$a=2$$ — один корень;
- при $$2<a<2\sqrt2$$ — два корня.
б) Рассмотрим уравнение $$\bigl||x|-2\bigr|=a.$$
Так как левая часть неотрицательна, то сразу получаем условие:
$$a\ge 0.$$
Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$|t-2|=a,$$
откуда
$$t-2=a \quad \text{или} \quad t-2=-a.$$
То есть
$$t=2+a \quad \text{или} \quad t=2-a.$$
Теперь учитываем, что $$t=|x|\ge 0.$$
- Если $$a>2,$$ то подходит только $$t=2+a,$$ и получаем два корня: $$x=\pm(2+a).$$
- Если $$a=2,$$ то $$t=4$$ или $$t=0,$$ значит, корни: $$x=\pm4$$ и $$x=0.$$ Всего три корня.
- Если $$0<a<2,$$ то оба значения $$t=2+a$$ и $$t=2-a$$ положительны, поэтому получаем четыре корня.
- Если $$a=0,$$ то $$t=2,$$ и корни: $$x=\pm2.$$ Всего два корня.
- Если $$a<0,$$ корней нет.
Ответ
а) Нет корней при $$a<-2$$ и $$a>2\sqrt2$$; один корень при $$a=-2,\ a=2\sqrt2,\ -2\le a\le 2$$; два корня при $$2<a<2\sqrt2.$$
б) Нет корней при $$a<0$$; два корня при $$a=0$$ и $$a>2$$; три корня при $$a=2$$; четыре корня при $$0<a<2.$$
